cho a,b,c lần lượt là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1< $\frac{a}{a+b}$ +$\frac{b}{b+c}$ +$\frac{c}{c+a}$ < 2 Giúp mình nha các bạn

Ta có công thức: $\frac{x}{y}$< $\frac{x+m}{y+m}$ 

Áp dụng công thức, ta có:

$\frac{a}{a+b}$ < $\frac{a+c}{a+b+c}$ 

$\frac{b}{b+c}$ < $\frac{b+a}{a+b+c}$

$\frac{c}{c+a}$ < $\frac{c+b}{a+b+c}$

⇒ $\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$+$\frac{c}{c+a}$ < $\frac{a+c}{a+b+c}$+$\frac{b+a}{a+b+c}$+$\frac{c+b}{a+b+c}$= $\frac{2a+2c+2b}{a+b+c}$= 2

⇒ $\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$+$\frac{c}{c+a}$ < 2  (*)

Ta có: $\frac{a}{a+b}$ > $\frac{a}{a+b+c}$

           $\frac{b}{b+c}$ > $\frac{b}{a+b+c}$

           $\frac{c}{c+a}$ > $\frac{c}{a+b+c}$   

⇒ $\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$$\frac{c}{c+a}$ > $\frac{a}{a+b+c}$+$\frac{b}{a+b+c}$+$\frac{c}{a+b+c}$= $\frac{a+b+c}{a+b+c}$= 1

⇒ $\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$$\frac{c}{c+a}$ > 1  (**)

Từ (*) và (**) ⇒ đpcm