cho a,b,c ∈R* thỏa a+b+c=1 và 1/a+1/b+1/c=1.Tính Q=a^2017+b^2017+c^2017 giải giúp mik nha 29/08/2021 Bởi Maria cho a,b,c ∈R* thỏa a+b+c=1 và 1/a+1/b+1/c=1.Tính Q=a^2017+b^2017+c^2017 giải giúp mik nha
Ta có: `1/a+1/b+1/c=1` `⇔\frac{bc+ca+ba}{abc}=1` `⇔bc+ca+ba=abc` `⇔bc+ca+ba-abc=0` `⇔c(a+b)+ab(1-c)=0` $(*)$ Lại có: $a+b+c=1⇒1-c=a+b$ và $a+b+c=1⇒c=1-a-b$ `⇒` Phương trình $(*)$ trở thành: `c(a+b)+ab(a+b)=0` `⇔(a+b)(ab+c)=0` `⇔(a+b)(1-a-b+ab)=0` `⇔(a+b)[-(a-1)+b(a-1)]=0` `⇔(a+b)(a-1)(b-1)=0` Ta có ba trường hợp: `1)a+b=0⇔a=-b` và `a+b+c=1⇔c=1` Thay vào `Q` ta có: `⇔Q=a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}=(-b)^{2017}+b^{2017}+1^{2017}=0+1=1.` `2)a-1=0⇔a=1` `⇒1+b+c=1⇒b+c=0⇒b=-c.` Thay vào `Q` ta có: `⇔Q=a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}=1^{2017}+b^{2017}+(-b)^{2017}=1+0=1.` `3)b-1=0⇔b=1` `⇒a+1+c=1⇒a+c=0⇒a=-c.` Thay vào `Q` ta có: `⇔Q=a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}=a^{2017}+(-1)^{2017}+(-a)^{2017}=1+0=1.` Vậy với `a,b,c∈RR`$*$ thỏa `a+b+c=1, 1/a+1/b+1/c=1` thì `Q=1.` Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: $ a + b + c = 1 (1)$ $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 ⇔ ab + bc + ca = abc $ Xét tích $: (a – 1)(b – 1)(c – 1) = abc – (ab + bc + ca) + (a + b + c) – 1 = 0$ Nếu $ a – 1 = 0 ⇔ a = 1$ thay vào $(1) ⇒ b + c = 0 ⇒ b = – c$ $ ⇒ b^{2017} = – c^{2017} ⇔ b^{2017} + c^{2017} = 0 $ $ ⇒ Q = a^{2017} + b^{2017} + c^{2017} = 1$ Tương tự khi $: b = 1; c = 1$ Vậy $: Q = 1$ Bình luận
Ta có: `1/a+1/b+1/c=1`
`⇔\frac{bc+ca+ba}{abc}=1`
`⇔bc+ca+ba=abc`
`⇔bc+ca+ba-abc=0`
`⇔c(a+b)+ab(1-c)=0` $(*)$
Lại có: $a+b+c=1⇒1-c=a+b$ và $a+b+c=1⇒c=1-a-b$
`⇒` Phương trình $(*)$ trở thành:
`c(a+b)+ab(a+b)=0`
`⇔(a+b)(ab+c)=0`
`⇔(a+b)(1-a-b+ab)=0`
`⇔(a+b)[-(a-1)+b(a-1)]=0`
`⇔(a+b)(a-1)(b-1)=0`
Ta có ba trường hợp:
`1)a+b=0⇔a=-b` và `a+b+c=1⇔c=1`
Thay vào `Q` ta có:
`⇔Q=a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}=(-b)^{2017}+b^{2017}+1^{2017}=0+1=1.`
`2)a-1=0⇔a=1`
`⇒1+b+c=1⇒b+c=0⇒b=-c.`
Thay vào `Q` ta có:
`⇔Q=a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}=1^{2017}+b^{2017}+(-b)^{2017}=1+0=1.`
`3)b-1=0⇔b=1`
`⇒a+1+c=1⇒a+c=0⇒a=-c.`
Thay vào `Q` ta có:
`⇔Q=a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}=a^{2017}+(-1)^{2017}+(-a)^{2017}=1+0=1.`
Vậy với `a,b,c∈RR`$*$ thỏa `a+b+c=1, 1/a+1/b+1/c=1` thì `Q=1.`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ a + b + c = 1 (1)$
$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 ⇔ ab + bc + ca = abc $
Xét tích $: (a – 1)(b – 1)(c – 1) = abc – (ab + bc + ca) + (a + b + c) – 1 = 0$
Nếu $ a – 1 = 0 ⇔ a = 1$ thay vào $(1) ⇒ b + c = 0 ⇒ b = – c$
$ ⇒ b^{2017} = – c^{2017} ⇔ b^{2017} + c^{2017} = 0 $
$ ⇒ Q = a^{2017} + b^{2017} + c^{2017} = 1$
Tương tự khi $: b = 1; c = 1$
Vậy $: Q = 1$