cho a,b,c thuộc z thoả mãn a+b+c=0. CMR (a^7+b^7+c^7) chia hết cho 7

0 bình luận về “cho a,b,c thuộc z thoả mãn a+b+c=0. CMR (a^7+b^7+c^7) chia hết cho 7”

1. Đáp án:

   Ta đi `cm` `x^7 – x` chia hết cho `7 (∀x in Z)`

   Ta có : `x^7 – x = x(x^6 – 1) = x(x^3 – 1)(x^3 + 1) = x(x – 1)(x + 1)(x^2 – x + 1)(x^2 + x  + 1)`

   Nếu : 

   `x = 7k  (k in Z) -> đ.p.c.m`

   `x = 7k + 1 ( k in Z) -> x – 1 = 7k+  1- 1 = 7k`  chia hết cho `7 -> đ.p.c.m`

   `x= 7k + 2 -> x^2 + x + 1 = (7k + 2)^2 + 7k + 2 + 1 = 49k^2 + 35k+  7 = 7(7k^2 + 5k+  1)` chia hết cho `7` `-> đ.p.c.m`

   `x= 7k + 3 -> x^2 – x + 1 = (7k+  3)^2 – (7k + 3) + 1 = 49k^2 + 35k + 7` chia hết cho `7`

   `-> đ.p.c.m`

   Như vậy `-> x^7 – x` chia hết cho `7 (∀x in Z)`

   quay trở lại bài toán

   Ta có : 

   `a^7 + b^7 + c^7`

   `= a^7 – a + b^7 – b + c^7  – c`

   theo như trên `-> a^7 – a , b^7 – b , c^7  -c` chia hết cho `7`

   `-> a^7 – a + b^7 – b + c^7  – c` chia hết cho `7`

   hay `a^7 + b^7 + c^7` chia hết cho `7`

   `-> đ.p.c.m`

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận