Cho a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng: a^2 +b^2+c^2 ≥ ab+bc+ca 24/09/2021 Bởi Eden Cho a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng: a^2 +b^2+c^2 ≥ ab+bc+ca
a²+ b²+ c² ≥ ab+ bc+ ca <=> 2a²+ 2b²+ 2c² ≥ 2ab+ 2bc+2ca <=> 2a²+ 2b²+ 2c² – 2ab- 2bc- 2ca ≥0 <=> (a²- 2ab+ b²)+ (b²- 2bc+ c²)+(c²- 2ca+ a²) ≥0 <=> (a-b)²+ (b-c)²+ (c-a)² ≥ 0 (luôn đúng với ∀a,b,c) => đpcm Dấu “=” xảy ra<=> a=b=c Bình luận
$a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca$ $⇔2(a^2+b^2+c^2)≥2(ab+bc+ca)$ $⇔2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca≥0$ $⇔(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)≥0$ $⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0$ (luôn đúng với mọi a, b, c) Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c$ Vậy bđt được chứng minh Bình luận
a²+ b²+ c² ≥ ab+ bc+ ca
<=> 2a²+ 2b²+ 2c² ≥ 2ab+ 2bc+2ca
<=> 2a²+ 2b²+ 2c² – 2ab- 2bc- 2ca ≥0
<=> (a²- 2ab+ b²)+ (b²- 2bc+ c²)+(c²- 2ca+ a²) ≥0
<=> (a-b)²+ (b-c)²+ (c-a)² ≥ 0 (luôn đúng với ∀a,b,c)
=> đpcm
Dấu “=” xảy ra<=> a=b=c
$a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca$
$⇔2(a^2+b^2+c^2)≥2(ab+bc+ca)$
$⇔2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca≥0$
$⇔(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)≥0$
$⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0$ (luôn đúng với mọi a, b, c)
Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c$
Vậy bđt được chứng minh