Cho a, b khác 0. CMR: $\frac{2ab}{a^2+4b^2}+\frac{b^2}{3a^2+2b^2}\leq\frac{3}{5}$ 05/09/2021 Bởi Maria Cho a, b khác 0. CMR: $\frac{2ab}{a^2+4b^2}+\frac{b^2}{3a^2+2b^2}\leq\frac{3}{5}$
Đáp án: Giải thích các bước giải: Đặt $ b = ka$ thay vào $ \frac{2ab}{a² + 4b²} + \frac{b²}{3a² + 2b²} ≤ \frac{3}{5} $ $ ⇔ \frac{2ka²}{a² + 4k²a²} + \frac{k²a²}{3a² + 2k²a²} ≤ \frac{3}{5} $ $ ⇔ \frac{2k}{1 + 4k²} + \frac{k²}{3 + 2k²} ≤ \frac{3}{5} $ $ ⇔ 10k(3 + 2k²) + 5k²(1 + 4k²) ≤ 3(1 + 4k²)(3 + 2k²) $ $ ⇔ 30k + 20k³ + 5k² + 20k^{4} ≤ 9 + 42k² + 24k^{4} $ $ ⇔ 4k^{4} + 12k² + 9 – 20k³ – 30k + 25k² ≥ 0 $ $ ⇔ (2k² + 3)² – 10k(2k ²+ 3) + 25k² ≥ 0 $ $ ⇔ (2k² – 5k + 3)² ≥ 0 $ (đúng với mọi $k$) Dấu $’=” $ xảy ra khi $ 2k² – 5k + 3 = 0$ $ ⇔ k = 1⇔ a = b$ hoặc $ k = \frac{3}{2} ⇔ 3a = 2b$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt $ b = ka$ thay vào
$ \frac{2ab}{a² + 4b²} + \frac{b²}{3a² + 2b²} ≤ \frac{3}{5} $
$ ⇔ \frac{2ka²}{a² + 4k²a²} + \frac{k²a²}{3a² + 2k²a²} ≤ \frac{3}{5} $
$ ⇔ \frac{2k}{1 + 4k²} + \frac{k²}{3 + 2k²} ≤ \frac{3}{5} $
$ ⇔ 10k(3 + 2k²) + 5k²(1 + 4k²) ≤ 3(1 + 4k²)(3 + 2k²) $
$ ⇔ 30k + 20k³ + 5k² + 20k^{4} ≤ 9 + 42k² + 24k^{4} $
$ ⇔ 4k^{4} + 12k² + 9 – 20k³ – 30k + 25k² ≥ 0 $
$ ⇔ (2k² + 3)² – 10k(2k ²+ 3) + 25k² ≥ 0 $
$ ⇔ (2k² – 5k + 3)² ≥ 0 $ (đúng với mọi $k$)
Dấu $’=” $ xảy ra khi $ 2k² – 5k + 3 = 0$
$ ⇔ k = 1⇔ a = b$ hoặc $ k = \frac{3}{2} ⇔ 3a = 2b$