Cho a,b khác 0. CMR: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\geq\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ 06/09/2021 Bởi Daisy Cho a,b khác 0. CMR: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\geq\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!!!!!!! Đáp án: `\frac{a²}{b²} + \frac{b²}{a²} ≥ \frac{a}{b} + \frac{b}{a}` Giải thích các bước giải: Với $a, b$ là các số khác 0. Ta có: $(a – b)²(a² + ab + b²) ≥ 0$ $⇔ (a – b)(a – b)(a² + ab + b²) ≥ 0$ $⇔ (a – b)(a³ – b³) ≥ 0$ $⇔ a⁴ – ab³ – a³b + b⁴ ≥ 0$ $⇔ a⁴ + b⁴ ≥ ab³ + a³b$ $⇔ \dfrac{a⁴ + b⁴}{a²b²} ≥ \dfrac{a³b + ab³}{a²b²}$ $⇔ \dfrac{a²}{b²} + \dfrac{b²}{a²} ≥ \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} (đpcm)$ Vậy với $a, b$ khác $0$ thì `\frac{a²}{b²} + \frac{b²}{a²} ≥ \frac{a}{b} + \frac{b}{a}.` Bình luận
CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!!!!!!!
Đáp án:
`\frac{a²}{b²} + \frac{b²}{a²} ≥ \frac{a}{b} + \frac{b}{a}`
Giải thích các bước giải:
Với $a, b$ là các số khác 0.
Ta có:
$(a – b)²(a² + ab + b²) ≥ 0$
$⇔ (a – b)(a – b)(a² + ab + b²) ≥ 0$
$⇔ (a – b)(a³ – b³) ≥ 0$
$⇔ a⁴ – ab³ – a³b + b⁴ ≥ 0$
$⇔ a⁴ + b⁴ ≥ ab³ + a³b$
$⇔ \dfrac{a⁴ + b⁴}{a²b²} ≥ \dfrac{a³b + ab³}{a²b²}$
$⇔ \dfrac{a²}{b²} + \dfrac{b²}{a²} ≥ \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} (đpcm)$
Vậy với $a, b$ khác $0$ thì `\frac{a²}{b²} + \frac{b²}{a²} ≥ \frac{a}{b} + \frac{b}{a}.`