Cho a,b là 2 số thực dương. Cmr: $\frac{a^2}{b}$ + $\frac{b^2}{a}$ $\geq$ $\sqrt[]{2(a^2+b^2)}$

0 bình luận về “Cho a,b là 2 số thực dương. Cmr: $\frac{a^2}{b}$ + $\frac{b^2}{a}$ $\geq$ $\sqrt[]{2(a^2+b^2)}$”

1. Đáp án:

    Áp dụng `B-C-S` ta có : 

   `\sqrt{ab} + \sqrt{(a^2 + b^2)/2} <= \sqrt{2(ab + (a^2 + b^2)/2)} = \sqrt{(a + b)^2} = a + b`

   `-> 2\sqrt{ab} + \sqrt{2(a^2 + b^2)} <= 2(a + b)`

   `-> 2a + 2b – 2\sqrt{ab} >= \sqrt{2(a^2 + b^2)}`

   Do đó ta chỉ cần `cm`  `a^2/b + b^2/a >= 2a + 2b – 2\sqrt{ab}`

   `<=> a^2/b + b^2/a – 2\sqrt{ab} >= 2(\sqrt{a} – \sqrt{b})^2`

   `<=> (a^3 – 2\sqrt{a^3b^3} + b^3)/(ab) >= 2(\sqrt{a} – \sqrt{b})^2`

   `<=> (\sqrt{a^3} – \sqrt{b^3})^2/(ab) >= 2(\sqrt{a} – \sqrt{b})^2`

   `<=> (\sqrt{a} – \sqrt{b})^2(a + \sqrt{ab} + b)^2 . 1/(ab) – 2(\sqrt{a} – \sqrt{b})^2 >= 0`

   `<=> (\sqrt{a} – \sqrt{b})^2[(a + \sqrt{ab} + b)^2 . 1/(ab) – 2] >= 0 (2)`

   Áp dụng `AM – GM` ta có : 

   `(a + \sqrt{ab} + b)^2 . 1/(ab) >= (2\sqrt{ab} + \sqrt{ab})^2 . 1/(ab) = (3\sqrt{ab})^2 . 1/(ab) = 9ab . 1/(ab) = 9 > 2`

   `-> (a + \sqrt{ab} + b)^2 . 1/(ab) – 2 > 0 (1)`

   Từ `(1)(2) -> đ.p.c.m`

   Dấu “=” xảy ra `<=> a = b`

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận