cho a,b,là hai số thực dương thỏa mãn a^2+b^2=1 .chứng minh (a+3b)^2<=10

Giải thích các bước giải:

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

${\left( {a + 3b} \right)^2} = {\left( {a.1 + b.3} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{1^2} + {3^2}} \right) = 10\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 10$

Dấu bằng xảy ra

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{3}\\
{a^2} + {b^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 3a\\
{a^2} + {b^2} = 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 3a\\
10{a^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 3a\\
\left[ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}\\
a = \dfrac{{ – 1}}{{\sqrt {10} }}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }};b = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\\
a = \dfrac{{ – 1}}{{\sqrt {10} }};b = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt {10} }}
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.