cho a,b,là hai số thực dương thỏa mãn a^2+b^2=1 .chứng minh (a+3b)^2<=10 13/11/2021 Bởi Autumn cho a,b,là hai số thực dương thỏa mãn a^2+b^2=1 .chứng minh (a+3b)^2<=10
Giải thích các bước giải: Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có: ${\left( {a + 3b} \right)^2} = {\left( {a.1 + b.3} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{1^2} + {3^2}} \right) = 10\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 10$ Dấu bằng xảy ra $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{3}\\{a^2} + {b^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\{a^2} + {b^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\10{a^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\\left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}\\a = \dfrac{{ – 1}}{{\sqrt {10} }}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }};b = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\\a = \dfrac{{ – 1}}{{\sqrt {10} }};b = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt {10} }}\end{array} \right.\end{array}$ Vậy ta có điều phải chứng minh. Bình luận
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
${\left( {a + 3b} \right)^2} = {\left( {a.1 + b.3} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{1^2} + {3^2}} \right) = 10\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 10$
Dấu bằng xảy ra
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{3}\\
{a^2} + {b^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 3a\\
{a^2} + {b^2} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 3a\\
10{a^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 3a\\
\left[ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}\\
a = \dfrac{{ – 1}}{{\sqrt {10} }}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }};b = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\\
a = \dfrac{{ – 1}}{{\sqrt {10} }};b = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt {10} }}
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Áp dụng bđt bunhiacopxki:
`(a+3b)le(1+3^2)(a^2+b^2)=10`
`=>đpcm`