cho a,b là số tự nhiên. Chứng minh ước chung lớn nhất của a và b bằng ước chung lớn nhất của 5 nhân a cộng 2 nhân b và 7 nhân a cộng 3 nhân b

Giải thích các bước giải:

Gọi $(a,b)=d$ 

       $(5a+2b, 7a+3b)=m$

$\to \begin{cases}5a+2b\quad\vdots\quad m\\ 7a+3b\quad\vdots\quad m\end{cases}$

$\to \begin{cases}7(5a+2b)-5(7a+3b)\quad\vdots\quad m\\ 2(7a+3b)-3(5a+2b)\quad\vdots\quad m\end{cases}$

$\to \begin{cases}-b\quad\vdots\quad m\\ -a\quad\vdots\quad m\end{cases}$

$\to \begin{cases}b\quad\vdots\quad m\\ a\quad\vdots\quad m\end{cases}$

$\to d\quad\vdots\quad m(1)$

Lại có

$\begin{cases}a\quad\vdots\quad d\\ b\quad\vdots\quad d\end{cases}$

$\to\begin{cases}5a+2b\quad\vdots\quad d\\ 7a+3b\quad\vdots\quad d\end{cases}$

$\to m\quad\vdots\quad d(2)$

Từ $(1)$ và $(2)\to d=m$

$\to đpcm$