Cho a,b lớn hơn 0 thoả mãn 2a + b ≤ 3 cmr: 2 / √(a+3) + 1/ √(b+3) ≥ 3/2

Lời giải:

Ta có:

$\dfrac{2}{\sqrt{a + 3}} + \dfrac{1}{\sqrt{b + 3}}$

$= \dfrac{4}{2\sqrt{a + 3}} + \dfrac{1}{\sqrt{b + 3}}$

$= \dfrac{2^2}{\sqrt2.\sqrt{2a + 6}} + \dfrac{1^2}{\sqrt{b + 3}}$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

$\dfrac{2^2}{\sqrt2.\sqrt{2a + 6}} + \dfrac{1^2}{\sqrt{b + 3}} \geq \dfrac{(2 + 1)^2}{\sqrt2.\sqrt{2a + 6} + \sqrt{b + 3}}$

Áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$ ta được:

$\sqrt2.\sqrt{2a + 6} + \sqrt{b + 3} \leq \sqrt{(\sqrt2^2 + 1^2)(2a + 6 + b + 3} = \sqrt{3.(2a + b + 9)} \leq \sqrt{3.(3 +9)} = 6$

Do đó:

$\dfrac{(2 + 1)^2}{\sqrt2.\sqrt{2a + 6}+ \sqrt{b + 3}} \geq \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{2^2}{\sqrt2.\sqrt{2a + 6}} + \dfrac{1^2}{\sqrt{b + 3}} \geq \dfrac{3}{2}$

Hay $\dfrac{2}{\sqrt{a + 3}} + \dfrac{1}{\sqrt{b + 3}} \geq \dfrac{3}{2}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{2}{\sqrt2.\sqrt{2a + 6}} = \dfrac{1}{\sqrt{b + 3}}\\2a + b = 3\end{cases} \Leftrightarrow a = b =  1$