Cho `a,b ∈N` sao cho `(a+1)/b+(b+1)/a ∈Z`, Chứng minh rằng ước chung lớn nhất của `a` và `b` không vượt quá `\sqrt{a+b}`

0 bình luận về “Cho `a,b ∈N` sao cho `(a+1)/b+(b+1)/a ∈Z`, Chứng minh rằng ước chung lớn nhất của `a` và `b` không vượt quá `\sqrt{a+b}`”

1. Giải thích các bước giải:

   $\dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}{a}$

   $=\dfrac{a^2+a+b^2+b}{ab}$

   $=\dfrac{(a+b)^2+(a+b)-2ab}{ab}$

   $=\dfrac{(a+b)(a+b+1)}{ab}-2$ $∈ Z$

   $⇒ (a+b)(a+b+1) \vdots ab$ $(1)$

   $\text{Gọi $UCLN(a+b; a+b+1)=d$}$

   $⇒ \begin{cases}(a+b) \vdots d \\(a+b+1) \vdots d\end{cases}$

   $⇒ 1 \vdots d$

   $⇒ d=1$

   $⇒ (a+b; a+b+1)=1$ $(2)$

   $\text{Từ (1) và (2) suy ra:}$

   $\left[ \begin{array}{l}(a+b) \vdots ab(3)\\(a+b+1) \vdots ab(4)\end{array} \right.$

   $(3) ⇔ a+b \geq ab$

   $\text{Đặt $k=UCLN(a; b)$}$

   $⇒ \begin{cases}a \geq k \\b \geq k\end{cases}$

   $⇒ ab \geq k^2$

   $⇒ a+b \geq ab \geq k^2$

   $⇔ k \leq \sqrt{a+b}$ $(*)$

   $(4) ⇒ 1 \vdots ab ⇒ ab=1$

   $\text{Vì a, b ∈ N nên a=b=1}$

   $\text{$UCLN_{(1; 1)}=1 < \sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ (**)}$

   $\text{Từ (*) và (**) suy ra ĐPCM}$

   Bình luận