Cho a,b thuộc Z, tồn tại 2 số c,d liên tiếp thỏa mãn :a-b=a^2.c-b^2.d CM: Giá trị tuyệt đối của a-b là số chính phương
Cho a,b thuộc Z, tồn tại 2 số c,d liên tiếp thỏa mãn :a-b=a^2.c-b^2.d CM: Giá trị tuyệt đối của a-b là số chính phương
Vì c,d là 2 số nguyên liên tiếp nên $|c-d|=1$
$a-b=a^2c-b^2d \leftrightarrow a-b=c(a^2-b^2)+b^2(c-d)$
$\leftrightarrow a-b=(a-b)(ac+bc)+b^2(c-d)$
$ \leftrightarrow (a-b)(ac+bc-1)=-b^2(c-d)$
$\rightarrow |(a-b)(ac+bc-1)|=|-b^2(c-d)| \rightarrow |a-b|.|ac+bc-1|=b^2$
Gọi $k$ là ước chung lớn nhất của $|a-b|$ và $|ac+bc-1|$ ($k$ nguyên dương)
$\rightarrow |a-b|\ \vdots \ k \ (1);|ac+bc-1|\ \vdots \ k \ (2)$
$\rightarrow b^2=|a-b|.|ac+bc-1|\ \vdots \ k^2$ $\rightarrow b\ \vdots \ k$
Kết hợp với (1) $\rightarrow a\ \vdots \ k$
Kết hợp với (2) $\rightarrow -1\ \vdots \ k$ $\rightarrow k=1$ ( vì k nguyên dương)
Do đó, $|a-b|$ và $|ac+bc-1|$ là 2 số nguyên tố cùng nhau
Mà tích của chúng bằng $b^2$ là số chính phương nên $|a-b|$ và $|ac+bc-1|$ đều là số chính phương (ĐPCM)