Cho : a,b,x,y > 0 . CMR : \(\sqrt{ax}+\sqrt{by}\) ≤ \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(x+y\right)}\) 21/08/2021 Bởi Reese Cho : a,b,x,y > 0 . CMR : \(\sqrt{ax}+\sqrt{by}\) ≤ \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(x+y\right)}\)
Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}=p\\\sqrt{b}=q\\\sqrt{x}=m\\\sqrt{y}=n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow p;q;m;n>0\) \(bdt\Leftrightarrow pm+qn\le\sqrt{\left(p^2+q^2\right)\left(m^2+n^2\right)}\) Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky: \(\left(p^2+q^2\right)\left(m^2+n^2\right)\ge\left(pm+qn\right)^2\Leftrightarrow\sqrt{\left(p^2+q^2\right)\left(m^2+n^2\right)}\ge pm+qn\) Vậy bất đẳng thức cần chứng minh đúng. Dấu “=” xảy ra khi: \(\dfrac{p^2}{m^2}=\dfrac{q^2}{n^2}\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\) Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: hadayne 00:19 Đặt: ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩√a=p√b=q√x=m√y=n⇔p;q;m;n>0{a=pb=qx=my=n⇔p;q;m;n>0 bdt⇔pm+qn≤√(p2+q2)(m2+n2)bdt⇔pm+qn≤(p2+q2)(m2+n2) Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky: (p2+q2)(m2+n2)≥(pm+qn)2⇔√(p2+q2)(m2+n2)≥pm+qn(p2+q2)(m2+n2)≥(pm+qn)2⇔(p2+q2)(m2+n2)≥pm+qn Vậy bất đẳng thức cần chứng minh đúng. Dấu “=” xảy ra khi: p2m2=q2n2⇔ax=by Bình luận
Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}=p\\\sqrt{b}=q\\\sqrt{x}=m\\\sqrt{y}=n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow p;q;m;n>0\)
\(bdt\Leftrightarrow pm+qn\le\sqrt{\left(p^2+q^2\right)\left(m^2+n^2\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky:
\(\left(p^2+q^2\right)\left(m^2+n^2\right)\ge\left(pm+qn\right)^2\Leftrightarrow\sqrt{\left(p^2+q^2\right)\left(m^2+n^2\right)}\ge pm+qn\)
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh đúng. Dấu “=” xảy ra khi: \(\dfrac{p^2}{m^2}=\dfrac{q^2}{n^2}\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt: ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩√a=p√b=q√x=m√y=n⇔p;q;m;n>0{a=pb=qx=my=n⇔p;q;m;n>0
bdt⇔pm+qn≤√(p2+q2)(m2+n2)bdt⇔pm+qn≤(p2+q2)(m2+n2)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky:
(p2+q2)(m2+n2)≥(pm+qn)2⇔√(p2+q2)(m2+n2)≥pm+qn(p2+q2)(m2+n2)≥(pm+qn)2⇔(p2+q2)(m2+n2)≥pm+qn
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh đúng. Dấu “=” xảy ra khi: p2m2=q2n2⇔ax=by