Cho
A= $\frac{3√x-9}{(x+7)(√-3)}$
B= $\frac{√x}{√x+3}$ + $\frac{2√x}{√x-3}$ – $\frac{3x – 9 }{x-9}$
Đk : x ≥ 0 ; x $\neq$ 9
a) tính giá trị của A khi x= 2
b) chứng tỏ rằng biểu thức B luôn dương với mọi giá trị x thỏa mãn ĐKXĐ
c) Tìm GTNN của biểu thức P = $\frac{B}{A}$
Đáp án:
$\begin{array}{l}
Dkxd:x \ge 0;x \ne 9\\
a)x = 2\left( {tmdk} \right)\\
\Rightarrow A = \dfrac{{3\sqrt x – 9}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\
= \dfrac{{3\left( {\sqrt x – 3} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\
= \dfrac{3}{{x + 7}}\\
= \dfrac{3}{{2 + 7}} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\\
Vay\,A = \dfrac{1}{3}\\
b)B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}} – \dfrac{{3x + 9}}{{x – 9}}\\
= \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) – 3x – 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\
= \dfrac{{x – 3\sqrt x + 2x + 6\sqrt x – 3x – 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\
= \dfrac{{3\sqrt x – 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\
= \dfrac{{3\left( {\sqrt x – 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\
= \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}}\\
Do:\sqrt x + 3 > 0\\
\Rightarrow B > 0\
\end{array}$
=> B luôn dương với mọi x thỏa mãn đk
$\begin{array}{l}
c)P = \dfrac{B}{A}\\
= \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}}:\left( {\dfrac{3}{{x + 7}}} \right)\\
= \dfrac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}}\\
\Rightarrow P.\sqrt x + 3P = x + 7\\
\Rightarrow x – P.\sqrt x – 3P + 7 = 0\\
DK:\left\{ \begin{array}{l}
\Delta \ge 0\\
P \ge 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{P^2} – 4.\left( { – 3P + 7} \right) \ge 0\\
P \ge 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{P^2} + 12P – 28 \ge 0\\
P \ge 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {P + 14} \right)\left( {P – 2} \right) \ge 0\\
P \ge 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow P \ge 2\\
\Rightarrow GTNN:P = 2\\
Khi:x – 2\sqrt x – 3.2 + 7 = 0\\
\Rightarrow x – 2\sqrt x + 1 = 0\\
\Rightarrow \sqrt x = 1\\
\Rightarrow x = 1\left( {tmdk} \right)
\end{array}$