Cho a là số có 2n chữ số 1 (111… 2n lần), b là số gồm n+1 chữ số 1 (111… n+1 lần), c là số gồm n chữ số 6 (666…. n lần) (n là số tự nhiên khác 0). Chứng minh rằng a+b+c+8 là số chính phương. Giúp mình với, sử dụng kiến thức lớp 7 giùm nhé.
Cho a là số có 2n chữ số 1 (111… 2n lần), b là số gồm n+1 chữ số 1 (111… n+1 lần), c là số gồm n chữ số 6 (666…. n lần) (n là số tự nhiên khác 0). Chứng minh rằng a+b+c+8 là số chính phương. Giúp mình với, sử dụng kiến thức lớp 7 giùm nhé.
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
111…1(2n) + 111…1(n + 1) + 666…6(n) + 8\\
= \frac{{{{10}^{2n}} – 1}}{9} + \frac{{{{10}^{n + 1}} – 1}}{9} + 6.\frac{{{{10}^n} – 1}}{9} + 8\\
= \frac{{{{10}^{2n}} + {{10}^{n + 1}} + {{6.10}^n} + 64}}{9}\\
= \frac{{{{({{10}^n})}^2} + {{2.10}^n}.8 + {8^2}}}{9}\\
= {(\frac{{{{10}^n} + 8}}{3})^2}
\end{array}\)
Vì \({{{10}^n} + 8}\)=1000…08 có tổng các chữ số chia hết cho 3
\(\Rightarrow {10^n} + 8 \vdots 3\)
⇒dpcm