Cho $a$ là số tự nhiên khác $0$.Hãy so sánh $\dfrac{a}{a+1}$ $+$ $\dfrac{a+1}{a}$ với $2$ 20/08/2021 Bởi Sadie Cho $a$ là số tự nhiên khác $0$.Hãy so sánh $\dfrac{a}{a+1}$ $+$ $\dfrac{a+1}{a}$ với $2$
Đáp án: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số $\frac{a}{a+1}$ và $\frac{a+1}{a}$ $\neq$ 0:$\frac{a}{a+1}$ + $\frac{a+1}{a}$ $\geq$ 2.$\sqrt[]{\frac{a}{a+1} + \frac{a+1}{a}}$ => $\frac{a}{a+1}$ + $\frac{a+1}{a}$ $\geq$ 2.1=> $\frac{a}{a+1}$ + $\frac{a+1}{a}$ $\geq$ 2Vậy $\frac{a}{a+1}$ + $\frac{a+1}{a}$ $\geq$ 2 Bình luận
Ta có : $\ \dfrac{a}{a + 1} + \dfrac{a+1}{a}$ $\ = \dfrac{a.a}{a(a + 1)} + \dfrac{(a + 1)(a + 1)}{a(a + 1)}$ $\ = \dfrac{a^{2}}{a^2 + a} + \dfrac{a^2 + a + a + 1}{a^2 + a}$$\ = \dfrac{a^{2} + a^{2} + a + a + 1}{a^{2} + a}$$\ = \dfrac{2a^{2} + 2a + 1}{a^{2} + a}$ $\ = \dfrac{2(a^{2} + a)}{a^{2} + a} + \dfrac{1}{a^{2} + a}$$\ = 2 + \dfrac{1}{a^{2} + a} ≥ 2$ (do `a ne 0`) Vậy… Bình luận
Đáp án:
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số $\frac{a}{a+1}$ và $\frac{a+1}{a}$ $\neq$ 0:
$\frac{a}{a+1}$ + $\frac{a+1}{a}$ $\geq$ 2.$\sqrt[]{\frac{a}{a+1} + \frac{a+1}{a}}$
=> $\frac{a}{a+1}$ + $\frac{a+1}{a}$ $\geq$ 2.1
=> $\frac{a}{a+1}$ + $\frac{a+1}{a}$ $\geq$ 2
Vậy $\frac{a}{a+1}$ + $\frac{a+1}{a}$ $\geq$ 2
Ta có :
$\ \dfrac{a}{a + 1} + \dfrac{a+1}{a}$
$\ = \dfrac{a.a}{a(a + 1)} + \dfrac{(a + 1)(a + 1)}{a(a + 1)}$
$\ = \dfrac{a^{2}}{a^2 + a} + \dfrac{a^2 + a + a + 1}{a^2 + a}$
$\ = \dfrac{a^{2} + a^{2} + a + a + 1}{a^{2} + a}$
$\ = \dfrac{2a^{2} + 2a + 1}{a^{2} + a}$
$\ = \dfrac{2(a^{2} + a)}{a^{2} + a} + \dfrac{1}{a^{2} + a}$
$\ = 2 + \dfrac{1}{a^{2} + a} ≥ 2$ (do `a ne 0`)
Vậy…