Cho a và b là 2 số nguyên tố cùng nhau.Chứng minh rằng các số sau cũng là hai số nguyên tố cùng nhau
a, b và a-b(a lớn hơn b)
b,a mũ 2 + b mũ 2 và ab
Cho a và b là 2 số nguyên tố cùng nhau.Chứng minh rằng các số sau cũng là hai số nguyên tố cùng nhau
a, b và a-b(a lớn hơn b)
b,a mũ 2 + b mũ 2 và ab
`a)` – Đặt ` ƯC LN(b,a-b)=d (d in NN^**)`
`=> b vdots d` và `a-b vdots d`
`=> (a-b)-b vdots d`
`=> a-b-b vdots d`
`=> a vdots d`
mà `b vdots d`
`=> d in ƯC(a,b) = Ư(1)={1}`
`=> d=1`
`=> b` và `a-b` nguyên tố cùng nhau
`b)` – Đặt `d` là một ước chung nguyên tố của `a^2+b^2` và `ab (d in NN^**)`
`=> a^2+b^2 vdots d` và `ab vdots d`
– Để `ab vdots d` thì ta có các trường hợp sau :
`TH_1 : a vdots d `
`=> a^2 vdots d`
mà `a^2+b^2 vdots d`
`=> b^2 vdots d`
`=> b vdots d`
`TH_2 : b vdots d`
`=> b^2 vdots d`
mà `a^2 +b^2 vdots d`
`=> a^2 vdots d`
`=> a vdots d`
`TH_3:` Cả `a,b` đều `vdots d`
– Ở cả `3` trường hợp ta đều thấy `a,b vdots d`
`=> d in ƯC(a,b)=Ư(1)={1}`
`=> d` không nguyên tố
`=>` Vô lí
`=> a^2+b^2` nguyên tố cùng nhau