cho a1, a2, a3,….a100 là các số tự nhiên thỏa mãn a1+a2+a3+…..+a100=22015 chứng minh rằng a12+a22+a32+….+a1002 chia hết cho 2

               Giải

Ta luôn luôn có :

$n^{2}$ –  $n$=$n.n$ – $n$=$n(n-1)$

Nxét: $n$ và $n-1$ là 2 số tự nhiên liên tiếp⇒$n(n-1)$ ⋮ 2 (1)

⇒S=$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + …….+$a^{2}_{100}$ -($a_{1}$ + $a_{2}$ +($a_{3}$+……+$a_{100}$)

⇒S=$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + …….+$a^{2}_{100}$ -($a_{1}$ – $a_{2}$ -$a_{3}$-……-$a_{100}$

⇒S=($a^{2}_{1}$ – $a_{1}$)  + ($a^{2}_{2}$ – $a_{2}$) + ($a^{2}_{3}$ – $a_{3}$) + …….+($a^{2}_{100}$ – $a_{100}$) ⋮ 2 [từ (1)]

Mà từ đề bài $a_{1}$ + $a_{2}$ + $a_{3}$ + ….+$a_{100}$=22015 là một số lẻ 

⇒$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + …….+$a^{2}_{100}$ cũng tính chẵn lẻ⇒lẻ.

Mặt $\neq$ :một số lẻ không thể chia hết cho $2$

⇒$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + …….+$a^{2}_{100}$ không chia hết cho $2$

Vậy $a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + …….+$a^{2}_{100}$ không chia hết cho $2$ (đpcm)