Cho ∆ABC cân tại A có góc A nhọn, các đường cao BN và CM của ∆ABC cắt nhau tại H
a) C/m AN = AM
b) C/m MN // BC
c) Gọi O là trung điểm của BC. C/m H,A,O thẳng hằng
d) Nếu ∆ABC là tam giác đều và AH = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC
*Có vẽ hình nhé!
a) Xét hai tam giác vuông BMC và CNB có
Góc ABC = góc ACB (∆ABC cân tại A)
BC cạnh chung
Do đó ∆BMC = ∆CNB (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra BM = CN
Mà AB = AC (gt)
Nên AM = AN
b) Do AM = AN nên ∆AMN cân tại A
Góc AMN = (180 độ – góc BAC)/2
Ta lại có: góc ABC = (180 độ – góc BAC)/2 (∆ABC cân tại A)
Nên góc AMN = góc ABC
Suy ra MN // BC (hai góc đồng vị bằng nhau)
c) Xét ∆ABC cân tại A có
CM là đường cao (CM vuông AB)
BN là đường cao (BN vuông AC)
BN cắt CM tại H
Suy ra H là trực tâm của ∆ABC
Suy ra AH là đường cao
∆ABC cân tại A có đường cao AH
Suy ra AH là trung tuyến ứng với cạnh BC
Mà O là trung điểm của BC
Nên AH đi qua O
Hay A, H, O thẳng hàng
d) ∆ABC đều nên trực tâm cũng là trọng tâm của tam giác
Suy ra AH = 2AO/3
Suy ra AO = 3AH/2 = 3.8/2 = 12cm
Áp dụng định lý Pytago vào ∆ABH vuông tại H, ta có
AB^2 = BO^2 + AO^2
Mà BO = BC/2 (gt)
BC = AB (∆ABC đều)
Nên AB^2 = (AB^2)/4 + AO^2
(3AB^2)/4 = AO^2
AB^2 = (4AO^2)/3
AB = 2AO/căn3 = 24/căn3 = 8.căn3 (cm)
Hay BC = 8.căn3 (cm)