Cho ΔABC có đường cao AH. Trên AH, lấy các điểm K, I sao cho: AK=KI=IH. Qua I và K vẽ các đường thẳng EF//BC, MN//BC (E, M ∈ AB; F, N ∈ AC)
a) Tính $\frac{MN}{BC}$ và $\frac{EF}{BC}$
b) Cho biết diện tích của ΔABC là $90cm^{2}$. Tính diện tích tứ giác MNFE
a) Áp dụng định lý $Thales$ ta có:
$+)\quad MN//BC\quad (gt)$
$\to \dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AK}{AH} = \dfrac23$
$+)\quad EF//BC\quad (gt)$
$\to \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{AE}{AB}= \dfrac{AI}{AH} = \dfrac13$
b) Ta có:
$\begin{cases}\dfrac{MN}{BC} = \dfrac23\\\dfrac{EF}{BC} = \dfrac13\end{cases}\quad (câu\,\,a)$
$\to \begin{cases}MN = \dfrac23BC\\EF = \dfrac13BC\end{cases}$
Do $EF//MN\quad (//BC)$
nên:
Ta được:
$S_{MNEF} =\dfrac12(EF + MN).IK$
$\to S_{MNEF} = \dfrac12\left(\dfrac13BC + \dfrac23BC\right)\cdot \dfrac13AH$
$\to S_{MNEF} = \dfrac13\cdot \left(\dfrac12BC\cdot AH\right)$
$\to S_{MNEF} = \dfrac13S_{ABC}$
$\to S_{MNEF} = \dfrac13\cdot 90 = 30\, \rm cm^2$