Cho ` ΔABC` có `H` là trực tâm, `M` là trung điểm của `BC`, `O` là điểm cách đều `3` đỉnh. CMR: `AH=2OM` bằng `2` cách

Cách 1: Tam giác đồng dạng

Ta có: $O$ cách đều 3 đỉnh

$\Rightarrow O$ là giao 3 đường trung trực

$\Rightarrow OM\perp BC$

Gọi $N$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow ON\perp AC$

Mặt khác:

$BM = MC$

$AN = NC$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow MN//AB;\, AB = 2MN$

$\Rightarrow \widehat{MNC} =\widehat{BAC}$ (đồng vị)

Ta lại có:

$\widehat{BAC} + \widehat{HBA}=90^o \, (BH\perp AC)$

$\widehat{MNC} + \widehat{ONM} = \widehat{ONC} = 90^o \, (ON\perp AC)$

Do đó:

$\widehat{HBA} = \widehat{ONM}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\widehat{HAB} = \widehat{OMN}$

Xét $∆HAB$ và $∆OMN$ có:

$\widehat{HBA} = \widehat{ONM}$ $(cmt)$

$\widehat{HAB} = \widehat{OMN}$

Do đó $∆HAB\sim ∆OMN\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{HA}{OM} = \dfrac{AB}{MN} = 2$

$\Rightarrow HA = 2OM$

Cách 2: Đường trung bình

Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$

$\Rightarrow OA = OD$

$\Rightarrow OA = OD = OC$

$\Rightarrow ∆ACD$ vuông tại $C$

$\Rightarrow AC\perp CD$

Ta lại có:

$BH\perp AC$

$\Rightarrow BH//CD$

Chứng minh tương tự, ta được:

$CH//BD$

$\Rightarrow BHCD$ là hình bình hành

Bên cạnh đó:

$M$ là trung điểm đường chéo $BC$

$\Rightarrow M$ là trung điểm đường chéo $HD$

$\Rightarrow H,M,D$ thẳng hàng

Xét $∆AHD$ có:

$AO = OD$

$BM = MC$

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình

$\Rightarrow AH = 2OM$

Trả lời