Cho ` ΔABC` có `H` là trực tâm, `M` là trung điểm của `BC`, `O` là điểm cách đều `3` đỉnh. CMR: `AH=2OM` bằng `2` cách

0 bình luận về “Cho ` ΔABC` có `H` là trực tâm, `M` là trung điểm của `BC`, `O` là điểm cách đều `3` đỉnh. CMR: `AH=2OM` bằng `2` cách”

1. Cách 1: Tam giác đồng dạng

   Ta có: $O$ cách đều 3 đỉnh

   $\Rightarrow O$ là giao 3 đường trung trực

   $\Rightarrow OM\perp BC$

   Gọi $N$ là trung điểm $AC$

   $\Rightarrow ON\perp AC$

   Mặt khác:

   $BM = MC$

   $AN = NC$

   $\Rightarrow MN$ là đường trung bình

   $\Rightarrow MN//AB;\, AB = 2MN$

   $\Rightarrow \widehat{MNC} =\widehat{BAC}$ (đồng vị)

   Ta lại có:

   $\widehat{BAC} + \widehat{HBA}=90^o \, (BH\perp AC)$

   $\widehat{MNC} + \widehat{ONM} = \widehat{ONC} = 90^o \, (ON\perp AC)$

   Do đó:

   $\widehat{HBA} = \widehat{ONM}$

   Chứng minh tương tự, ta được:

   $\widehat{HAB} = \widehat{OMN}$

   Xét $∆HAB$ và $∆OMN$ có:

   $\widehat{HBA} = \widehat{ONM}$ $(cmt)$

   $\widehat{HAB} = \widehat{OMN}$

   Do đó $∆HAB\sim ∆OMN\, (g.g)$

   $\Rightarrow \dfrac{HA}{OM} = \dfrac{AB}{MN} = 2$

   $\Rightarrow HA = 2OM$

   Cách 2: Đường trung bình

   Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$

   $\Rightarrow OA = OD$

   $\Rightarrow OA = OD = OC$

   $\Rightarrow ∆ACD$ vuông tại $C$

   $\Rightarrow AC\perp CD$

   Ta lại có:

   $BH\perp AC$

   $\Rightarrow BH//CD$

   Chứng minh tương tự, ta được:

   $CH//BD$

   $\Rightarrow BHCD$ là hình bình hành

   Bên cạnh đó:

   $M$ là trung điểm đường chéo $BC$

   $\Rightarrow M$ là trung điểm đường chéo $HD$

   $\Rightarrow H,M,D$ thẳng hàng

   Xét $∆AHD$ có:

   $AO = OD$

   $BM = MC$

   $\Rightarrow OM$ là đường trung bình

   $\Rightarrow AH = 2OM$

   Bình luận