Cho ABC đều. Tia phân giác góc B cắt AC tại M. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BM , BC tại N,E.Chứng minh:
a) ANC cân.
b) NC ⊥ BC.
c) Xác định dạng của tam giác BNE.
d) NC là trung trực của BE.
e) Cho AB = 10cm.Tính diện tích tam giác BNE và chu vi tam giác ABE.
a)Vì BM là tia phân giác góc ABC ⇒ góc ABM= góc CBM
Xét Δ ABN và Δ CBN ,ta có :
AB=CB ( ΔABC đều )
góc ABM= góc CBM hay góc ABN= góc CBN
BN là cạnh chung
⇒Δ ABN = Δ CBN (c.g.c)
⇒AN = NC ( 2 cạnh tg ứng )
⇒Δ ANC cân tại N
Vậy Δ ANC cân tại N
b)Vì Δ ABN = Δ CBN (cmt) ⇒ góc BAN = góc BCN ( 2 cạnh tg ứng )
Mà NA ⊥ AB tại A (GT) ⇒ góc BAN = 90°
⇒ Góc BCN = 90°
⇒ NC ⊥ BC tại C
Vậy NC ⊥ BC tại C
c)Xét ∆ABC đều
=> BAC = ACB = 60° (t/c tam giác đều)
Ta có: BAC + CAN = BAN = 90°
=> 60° + CAN = 90°
⇒ CAE = 30°
Ta có : ACB + ACE = 180° (kề bù)
⇒ACE = 180° – 2.30° = 180° – 60°
⇒∆ ACE cân tại C
⇒AC=CE (T/C)
mà AC =BC ( Δ ABC đều )
⇒CE = BC
Vì NC ⊥ BC tại C (cmb) ⇒ Δ NCB vuông tại C
Δ NCE vuông tại C
Xét Δ NCB vuông tại C và Δ NCE vuông tại C , ta có
BC = CE (cmt)
NC là cạnh chung
⇒Δ NCB = Δ NCE ( 2 cạnh góc vuông )
⇒ BN = EN ( 2 cạnh tg ứng )
⇒ Δ BNE cân tại N (dhnb)
Vậy Δ BNE cân tại N
d) Ta có : NC ⊥ BC tại C (cmb)
BC = CE (cmc)
⇒ NC là trung trực của BE.
Vậy NC là trung trực của BE.
e)Vì Δ ABC đều ⇒ AB=AC= BC
Mà AB = 10 cm
⇒BC = 10 cm
Mà BC =CE
⇒ CE = BC + CE = 20 (cm )
góc BAN = 90° hay góc EAN = 90°⇒Δ BAE vuông tại A
BE^2=AB^2+AE^2
AE^2=BE^2-AB^2
AE^2=20^2-10^2
AE^2=400-100
AE^2=300=30^2
AE=30
Chu vi tam giác ABE là :
10+20+30=60(cm)