Cho △ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại S. Gọi I là trung điểm BC a) Chứng minh tứ giác SAOI nội tiếp b)Vẽ dây cung AD vuông góc với SO tại H. AD cắt BC tại K. Chứng minh SD là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Chứng minh SK.SI=SB.SC d) Vẽ đường kính PQ đi qua điểm I (Q thuộc cung CD), SP cắt dường tròn (O) tại M.Chứng minh M,K,Q thẳng hàng

Giải thích các bước giải: a) Do SA là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) nên S A O &circ; = 90 o SAO^=90o Do I là trung điểm của dây cung BC nên theo tính chất đường kính dây cung ta có O I &perp; B C ⇒ S I O &circ; = 90 o OI&perp;BC⇒SIO^=90o Xét tứ giác SAOI có S A O &circ; + S I O &circ; = 180 o SAO^+SIO^=180o mà A và I là hai đỉnh đối nhau nên SAOI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính SO. Xét tam giác cân OBC có OI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác. Suy ra B O D &circ; = C O D &circ; ⇒ s đ B D ⌢ = s đ D C ⌢ BOD^=COD^⇒sđBD⌢=sđDC⌢ Xét đường tròn (O) có s đ B D ⌢ = s đ D C ⌢ ⇒ B A D &circ; = D A C &circ; sđBD⌢=sđDC⌢⇒BAD^=DAC^ (Hai góc nội tiếp chắn các cung có số đo bằng nhau) Suy ra AD là phân giác góc BAC. b) Xét đường tròn (O) có: S E A &circ; = 1 2 ( s đ A B ⌢ + s đ D C ⌢ ) SEA^=12(sđAB⌢+sđDC⌢) (Góc có đỉnh nằm trong đường tròn) = 1 2 ( s đ A B ⌢ + s đ B D ⌢ ) = 1 2 s đ A D ⌢ =12(sđAB⌢+sđBD⌢)=12sđAD⌢ Lại có S A E &circ; = 1 2 s đ A D ⌢ SAE^=12sđAD⌢ (Góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung) ⇒ S E A &circ; = S A E &circ; ⇒SEA^=SAE^ hay tam giác SAE cân tại S. Suy ra SA = SE (1) Xét tam giác SBA và tam giác SAC có: Góc S chung S A B &circ; = S C A &circ; SAB^=SCA^ (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung AB) ⇒ Δ S B A &sim; Δ S A C ( g − g ) ⇒ΔSBA&sim;ΔSAC(g−g) ⇒ S B S A = S A S C ⇒ S A 2 = S B . S C ⇒SBSA=SASC⇒SA2=SB.SC (2) Từ (1) và (2) suy ra S E 2 = S B . S C SE2=SB.SC c) Xét tam giác SAM và tam giác SFA có: Góc S chung S A M &circ; = S F A &circ; SAM^=SFA^ (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung AM) ⇒ Δ S A M &sim; Δ S F A ( g − g ) ⇒ΔSAM&sim;ΔSFA(g−g) ⇒ S A S F = S M S A ⇒ S A 2 = S M . S F ⇒SASF=SMSA⇒SA2=SM.SF ⇒ S M . S F = S E 2 ⇒ S M S E = S E S F ⇒SM.SF=SE2⇒SMSE=SESF Xét tam giác SME và tam giác SEF có: Góc S chung S M S E = S E S F SMSE=SESF ⇒ Δ S M E &sim; Δ S E F ( c − g − c ) ⇒ΔSME&sim;ΔSEF(c−g−c) ⇒ M E S &circ; = E F M &circ; = 1 2 s đ M E ⌢ ⇒MES^=EFM^=12sđME⌢ Suy ra SE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EFM. d) Câu d có lẽ em gõ nhầm một chút: Kẻ AH vuông góc SO tại H. Em xem lại đề rồi báo lại cô nhé. Nếu sửa đề như cô nói thì ta sẽ chứng minh FN vuông góc SD. Sau đó xét tam giác SFD có SI và FN là các đường cao nên N là trực tâm của tam giác Vậy thì N thuộc đường cao DM hay M, N, D thẳng hàng.

Cho △ABC Nhọn (AB

Cho △ABC nhọn (AB { "@context": "https://schema.org", "@type": "QAPage", "mainEntity": { "@type": "Question", "name": " Cho △ABC nhọn (AB

0 bình luận về “Cho △ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại S. Gọi I là trung điểm BC a) Chứng minh tứ giác SAOI nội tiếp b)Vẽ”

Giải thích các bước giải:

a) Do SA là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) nên $\hat{S A O} = 90^{o}$

Do I là trung điểm của dây cung BC nên theo tính chất đường kính dây cung ta có $O I ⊥ B C \Rightarrow \hat{S I O} = 90^{o}$

Xét tứ giác SAOI có $\hat{S A O} + \hat{S I O} = 180^{o}$ mà A và I là hai đỉnh đối nhau nên SAOI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính SO.

Xét tam giác cân OBC có OI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác. Suy ra $\hat{B O D} = \hat{C O D} \Rightarrow s đ \overset{⌢}{B D} = s đ \overset{⌢}{D C}$

Xét đường tròn (O) có $s đ \overset{⌢}{B D} = s đ \overset{⌢}{D C} \Rightarrow \hat{B A D} = \hat{D A C}$ (Hai góc nội tiếp chắn các cung có số đo bằng nhau)

Suy ra AD là phân giác góc BAC.

b) Xét đường tròn (O) có:

$\hat{S E A} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⌢}{A B} + s đ \overset{⌢}{D C})$ (Góc có đỉnh nằm trong đường tròn)

$= \frac{1}{2} (s đ \overset{⌢}{A B} + s đ \overset{⌢}{B D}) = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{A D}$

Lại có $\hat{S A E} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{A D}$ (Góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung)

$\Rightarrow \hat{S E A} = \hat{S A E}$ hay tam giác SAE cân tại S.

Suy ra SA = SE (1)

Xét tam giác SBA và tam giác SAC có:

Góc S chung

$\hat{S A B} = \hat{S C A}$ (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung AB)

$\Rightarrow Δ S B A \sim Δ S A C (g - g)$

$\Rightarrow \frac{S B}{S A} = \frac{S A}{S C} \Rightarrow S A^{2} = S B . S C$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $S E^{2} = S B . S C$

c) Xét tam giác SAM và tam giác SFA có:

Góc S chung

$\hat{S A M} = \hat{S F A}$ (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung AM)

$\Rightarrow Δ S A M \sim Δ S F A (g - g)$

$\Rightarrow \frac{S A}{S F} = \frac{S M}{S A} \Rightarrow S A^{2} = S M . S F$

$\Rightarrow S M . S F = S E^{2} \Rightarrow \frac{S M}{S E} = \frac{S E}{S F}$

Xét tam giác SME và tam giác SEF có:

Góc S chung

$\frac{S M}{S E} = \frac{S E}{S F}$

$\Rightarrow Δ S M E \sim Δ S E F (c - g - c)$

$\Rightarrow \hat{M E S} = \hat{E F M} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{M E}$

Suy ra SE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EFM.

d) Câu d có lẽ em gõ nhầm một chút: Kẻ AH vuông góc SO tại H.

Em xem lại đề rồi báo lại cô nhé. Nếu sửa đề như cô nói thì ta sẽ chứng minh FN vuông góc SD.

Sau đó xét tam giác SFD có SI và FN là các đường cao nên N là trực tâm của tam giác

Vậy thì N thuộc đường cao DM hay M, N, D thẳng hàng.

Bình luận

Cho △ABC nhọn (AB
20/09/2021 Bởi Jade

0 bình luận về “Cho △ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại S. Gọi I là trung điểm BC a) Chứng minh tứ giác SAOI nội tiếp b)Vẽ”

Viết một bình luận Hủy