Cho ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Biết diện tích tứ giác BDHF và CDHE bằng nhau. Chứng minh rằng AB = AC.

0 bình luận về “Cho ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Biết diện tích tứ giác BDHF và CDHE bằng nhau. Chứng minh rằng AB = AC.”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải: Phương pháp phản chứng

   Không mất tính tổng quát giả sử $:AB < AC$

   Từ định lý Py ta go ta có:

   $ BD² = AB² – AD² < AC² – AD² = CD² ⇔ BD < CD $

   $ ⇒ BD.HD < CD.HD ⇔ 2S_{BHD} < 2S_{CHD} (1)$

   Mặt khác :

   $ Δ$ vuông $ABE ≈ Δ$ vuông $ACF$ (chung góc $A$)

   $ ⇒ \dfrac{AE}{AF} = \dfrac{AB}{AC} < 1 ⇔ AE < AF$ 

   Áp dụng Py ta go:

   $ HF² = AH² – AF² < AH² – AE² = HE² ⇔ HF < HE$

   Mà $ Δ$ vuông $BHF ≈ Δ$ vuông $CHE$ (đối đỉnh góc $H$)

   $ ⇒ \dfrac{BF}{CE} = \dfrac{HF}{HF} < 1 ⇔ BF < CE$

   $ ⇒ BF.HF < CE.HE ⇔ 2S_{BHF} < 2S_{CHE} (2)$

   $(1) + (2) : 2S_{BHDF} < 2S_{CHDE} ⇔ S_{BHDF} < S_{CHDE}$

   trái với GT $: S_{BHDF} = S_{CHDE} $

   Vậy phải có $: AB = AC (đpcm)$

   Bình luận