Cho ∆ABC nhọn đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC a) CMR: AM . AB = AN . AC b) CMR S∆AMN/S∆ABC = sin^2B . cos^2C

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$AH^2 = AM.AB$

$AH^2 = AN.AC$

$\Rightarrow AM.AB = AN.AC$

b) Ta có: $AM.AB = AN.AC$ (câu a)

$\Rightarrow \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}$

Xét $ΔANM$ và $ΔABC$ có:

$\widehat{A}:$ góc chung

$\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}$ $(cmt)$

Do đó $ΔANM\sim ΔABC \, (c.g.c)$

$\Rightarrow \dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{AN}{AB}\right)^2 = \left(\dfrac{AN.AH}{AB.AH}\right)^2$

$=\left(\dfrac{AH}{AB}\right)^2\cdot\left(\dfrac{AN}{AH}\right)^2$

$= \sin^2\widehat{ABC}.\cos^2\widehat{NAH}$

$= \sin^2\widehat{ABC}.\cos^2\widehat{ABC}$