Cho ∆ABC nhọn đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC a) CMR: AM . AB = AN . AC b) CMR S∆AMN/S∆ABC = sin^2B . cos^2C

0 bình luận về “Cho ∆ABC nhọn đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC a) CMR: AM . AB = AN . AC b) CMR S∆AMN/S∆ABC = sin^2B . cos^2C”

1. a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

   $AH^2 = AM.AB$

   $AH^2 = AN.AC$

   $\Rightarrow AM.AB = AN.AC$

   b) Ta có: $AM.AB = AN.AC$ (câu a)

   $\Rightarrow \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}$

   Xét $ΔANM$ và $ΔABC$ có:

   $\widehat{A}:$ góc chung

   $\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}$ $(cmt)$

   Do đó $ΔANM\sim ΔABC \, (c.g.c)$

   $\Rightarrow \dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{AN}{AB}\right)^2 = \left(\dfrac{AN.AH}{AB.AH}\right)^2$

   $=\left(\dfrac{AH}{AB}\right)^2\cdot\left(\dfrac{AN}{AH}\right)^2$

   $= \sin^2\widehat{ABC}.\cos^2\widehat{NAH}$

   $= \sin^2\widehat{ABC}.\cos^2\widehat{ABC}$

   Bình luận