Cho abc thỏa mãn a+b+c=3 tìm gtln của P=ab+bc+ca 24/10/2021 Bởi Harper Cho abc thỏa mãn a+b+c=3 tìm gtln của P=ab+bc+ca
Ta chứng minh BĐT : $(x+y+z)^2 ≥ 3.(xy+yz+zx)$ Thật vây BĐT trên tương đương : $2.(x^2+y^2+z^2 )≥ 2.(xy+yz+zx)$ $\to (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 ≥ 0 $ ( Đúng ) Áp dụng vào bài toán có : $P = ab+bc+ca ≤ \dfrac{(a+b+c)^2}{3} = 3$ Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c=1$ Vậy Max $P = 3$ khi $a=b=c=1$ Bình luận
Ta có: $ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2$ $⇒3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)^2=3^2=9$ $⇒ab+bc+ca≤3$ Dấu ”=” xảy ra khi $a=b=c=1$ Vậy GTLN của $P=3⇔a=b=c=1$ Bình luận
Ta chứng minh BĐT : $(x+y+z)^2 ≥ 3.(xy+yz+zx)$
Thật vây BĐT trên tương đương :
$2.(x^2+y^2+z^2 )≥ 2.(xy+yz+zx)$
$\to (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 ≥ 0 $ ( Đúng )
Áp dụng vào bài toán có :
$P = ab+bc+ca ≤ \dfrac{(a+b+c)^2}{3} = 3$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c=1$
Vậy Max $P = 3$ khi $a=b=c=1$
Ta có: $ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2$
$⇒3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)^2=3^2=9$
$⇒ab+bc+ca≤3$
Dấu ”=” xảy ra khi $a=b=c=1$
Vậy GTLN của $P=3⇔a=b=c=1$