Cho ΔABC với 3 đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của Δ đó
CMR : `(HA’)/(A A’)+ (HB’)/(BB’) + (HC’)/(C C’) = 1`
Cho ΔABC với 3 đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của Δ đó
CMR : `(HA’)/(A A’)+ (HB’)/(BB’) + (HC’)/(C C’) = 1`
Cách giải :
Ta có :
`S_(AHB)+S_(BHC)+S_(CHA)=S_(ABC)`
`=>(S_(AHB)+S_(BHC)+S_(CHA))/S_(ABC)=S_(ABC)/S_(ABC)`
`=>S_(AHB)/S_(ABC)+S_(BHC)/S_(ABC)+S_(CHA)/S_(ABC)=1`
`<=>((AB×HC’)/2)/((AB×C C’)/2)+((BC×HA’)/2)/((BC×A A’)/2)+((AC×HB’)/2)/((AC×BB’)/2)=1`
`<=>(AB×HC’)/(AB×C C’)+(BC×HA’)/(BC×A A’)+(AC×HB’)/(AC×BB’)=1`
`<=>(HC’)/(C C’)+(HA’)/(A A’)+(HB’)/(BB’)=1 (đpcm)`
Vậy `(HC’)/(C C’)+(HA’)/(A A’)+(HB’)/(BB’)=1`
Giải thích các bước giải:
(Hình vẽ đơn giản nên không làm ;-;)
Ta có:
`S_(BHC)/S_(ABC) = (1/2BC.HA’)/(1/2BC.A A’) = (HA’)/(A A’)` `(1)`
`S_(AHC)/S_(ABC) = (1/2AC.HB’)/(1/2AC.BB’) = (HB’)/(BB’)` `(2)`
`S_(AHB)/S_(ABC) = (1/2AB.HC’)/(1/2AB. C C’) = (HC’)/(C C’)` `(3)`
Từ `(1)`, `(2)`, `(3)` , ta có:
`(HA’)/(A A’) + (HB’)/(BB’) + (HC’)/(C C’)`
= `(S_(BHC) + S_(AHC) + S_(AHB))/S_(ABC)`
`= S_(ABC)/S_(ABC) = 1`
≈Học tốt≈