Cho ΔABC vuông cân tại đỉnh A, M là trung điểm của BC. Trên cạnh BC lấy điểm D tuỳ ý (D khác M). Từ B,C hạ BE, CF vuông góc với AD. Chứng minh: a) Δ

`a_)`

 Vì `Delta AEB` vuông tại `E`

`=> hat B_1 + hat {BAE} = 90^o(1)`

Ta có: `hat {BAC} = 90^o`

`=> hat {BAE} + hat A_1 = 90^o(2)`

Từ `(1)` và `(2) => hat A_1 = hat B_1`

Xét `Delta AEB` vuông tại `E` và `Delta CFA` vuông tại `F` có:

`AB = AC`(`Delta ABC` vuông cân tại `A`)

`hat B_1 = hat A_1(cmt)`

`=> Delta AEB = Delta CFA(ch-gn)(**)`

`b_)`

Gọi `AF cap BC = {I}`

Ta có: `AM = 1/2 BC`(tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong `Delta` vuông) mà `CM = 1/2 BC`(`M` là trung điểm `BC`)

`=> AM = CM`
Từ `(**) => AE = CF`(`2` cạnh tương ứng)

`Delta ABC` vuông cân tại `A` có `AM` là đường trung tuyến 

`=> AM` đồng thời là đường cao của` Delta ABC`

`=> AM bot BC`

`=> Delta AIM` vuông tại `M`

`=> hat A_2 + hat {I_2} = 90^o` mà `hat {I_1} = hat {I_2}`(`2` góc đối đỉnh)

`=> hat A_2 + hat {I_1} = 90^o(3)`

Vì `Delta CIF` vuông tại `F`

`=> hat C_1 + hat {I_1} = 90^o(4)`

Từ `(3)` và `(4) => hat A_2 = hat C_1`

Xét `Delta AME` và `Delta CMF` có:

`AM = CM(cmt)`

`hat A_2 = hat C_1(cmt)`

`AE = CF(cmt)`

`=> Delta AME = Delta CMF(c – g – c)(***)`

`c_)`

Từ `(***) => hat M_1 = hat M_3`(`2` góc tương ứng) và `ME = MF`(`2` cạnh tương ứng)

 Vì `AM bot BC(cmt)`

`=> hat {AMC} = 90^o`

`=> hat M_1 + hat M_2 = 90^o` mà `hat M_1 = hat M_3(cmt)`

`=> hat M_3 + hat M_2 = 90^o`

`=> hat EMF = 90^o(5)`

Vì `ME = MF(cmt)`

`=> Delta EMF` cân tại `M(6)`

Từ `(5)` và `(6) => Delta EMF` vuông cân

Trả lời