Cho `ΔABC` vuông ở `C` và có `\hat(A) = 60^o`. Kẻ tia phân giác `AE` của `\hat(CAB)`. Gọi `K` là hình chiếu của điểm `E` trên cạnh `AB`. Kẻ tia `Bx ⊥ AE` tại `D`. Chứng minh rằng:
`a)` `ΔACE = ΔAKE`.
`b)` `EB > AC`.
`c)` Ba đường thẳng `AC, BD, KE` cùng đi qua một điểm.
xét ΔΔABC có:
góc ACB + góc CAB + góc ABC = 180 độ (tổng 3 góc trongΔΔ)
=> góc ABC = 180 độ – (góc ACB + góc CAB)
=> góc ABC = 180 độ – (90 độ + 60 độ)
=> góc ABC = 180 độ = 150 độ
=> góc ABC = 30 độ
+ Vì AE là p/g của góc CAB
=> góc CAE = góc KAE = 12BACˆ12BAC^
= 1212. 60 độ = 30 độ
xét ΔΔAEB có:
góc KAE = góc ABC (= 30 độ)
=> ΔΔAEB cân tại E (định nghĩa ΔΔcân)
=> EA = EB (2 cạnh tương ứng)
xét ΔΔ AKE và ΔΔBKE có:
góc AKE = góc BKE (= 90 độ)
EA = EB (cmt)
EK chung
=> ΔΔAKE = ΔΔBKE (cạnh huyền góc nhọn)
=> KA = KB (2 cạnh tương ứng)
c,Gọi giao điểm AB và CD là N.
Ta cần chứng minh N,E,K thẳng hàng để 3 đường thắng AB,EK,CD đi qua 1 điểm.
Thật vậy, tam giác AEN và tam giác KEC có
NAE=EKC (=90 độ) EA=EK (c/mt)
EN=EC(tam giác BNC có phân giác BD đồng thời là đường cao nên đồng thời là trung trức CN)
Vậy tam giác AEN=tam giác KEC (ch-gn)
=> AEN=KEC 2 góc này ở vị trí đối đỉnh nên N,E,K thắng hàng.
Vậy N,E,K thẳng hàng
=>AB,EK,DC cùng đi qua 1 điểm