Cho ∆ ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BA = BM, kẻ BH ⊥ AM (H ∈ AM). Tia BH cắt cạnh AC tại E. a) Giả sử AC = 8cm; BC = 10cm. Tính độ dài cạnh AB. ̂ b) Chứng minh: BE là phân giác của ABC . c) Chứng minh: EM ⊥ BC. d) Tia ME cắt tia BA tại tại F. Chứng minh: ∆BFC là tam giác cân. e) Chứng minh: AM // FC.
Cho ∆ ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BA = BM, kẻ BH ⊥ AM (H ∈ AM). Tia BH cắt cạnh AC tại E. a) Giả sử AC = 8cm; BC = 10cm
By Mary
Đáp án
Giải thích các bước giải:a).Xet ΔABC vuong tai A co:
AB²+AC²=BC²(dinh ly pytago)
⇒AB²=BC²-AC²
⇒AB²=10²-8²=100-64=36
⇒AB²=6²⇒AB=6 cm
b)
Xet ΔABM co:
AB=BM(gt)
ΔABM can tai A(dhnb)
ma BH la duong cao AM(BH⊥AM)(gt)
⇒BH la phan giac goc ABM (tinh chat Δ can)
c)
Co BH la phan giac goc ABM(cmt)
⇒
Xet ΔABE va ΔMBE co:
AB=MB( GT)
goc B1=goc B2
BE chung
⇒ΔABE=ΔMBE(cgc)
ma goc BAE=90( vi ΔBAC vuong tai A)
⇒∠BME=90⇒EM⊥BC( tinh chat hai canh vuong goc)
d)
Xet ΔBMF vuong tai M va ΔBAC vuong tai A co:
AB=BM( gt)
∠B chung
⇒ΔBMF = ΔBAC (gcg)
⇒BC=BF ( hai canh tuong ung)
⇒ΔBFC can tai B (dhnb)
e)
Xet ΔBFC can tai B:
BD la phan giac ∠FAC( vi BH la phan giac ∠ABM)
⇒BD la duong cao FC( tinh chat Δ can)
⇒BD⊥FC
Co BD ⊥AM
ma BD ⊥FC
⇒AM//FC (quan he tu ⊥→//)
a) ΔABC vuông tại A
⇒ BC² = AB² + AC² (Áp dụng ĐL Py-ta-go)
⇒ 10² = AB² + 8²
⇒ 100 = AB² + 64
⇒ AB² = 100 – 64 = 36
⇒ AB = √36 = 6 (cm)
b) Xét ΔABH và ΔMBH có:
BA = BM (gt)
∠AHB = ∠MHB = $90^{o}$
BH: cạnh chung
⇒ ΔABH = ΔMBH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ ∠ABH = ∠MBH (2 góc tương ứng)
hay ∠ABE = ∠MBE
⇒ BE là tia phân giác của ∠ABC (đpcm)
c) Xét ΔABE và ΔMBE có:
BA = BM (gt)
∠ABE = ∠MBE (theo a)
BE: cạnh chung
⇒ ΔABE = ΔMBE (c.g.c)
⇒ ∠BAE = ∠BME (2 góc tương ứng)
Mà ∠BAE = $90^{o}$ ⇒ ∠BME = $90^{o}$
⇒ EM ⊥ BC (đpcm)
d) Xét ΔBAC và ΔBMF có:
∠BAC = ∠BMF = $90^{o}$
BA = BM (gt)
∠B: góc chung
⇒ ΔBAC = ΔBMF (g.c.g)
⇒ BC = BF (2 cạnh tương ứng)
ΔBFC có BC = BF (cmt) ⇒ ΔBFC cân tại B (đpcm)
e) ΔABM có: BA = BM (gt)
⇒ ΔABM cân tại B ⇒ ∠BAM = ∠BMA
ΔABM: ∠ABM + ∠BAM + ∠BMA = $180^{o}$
⇒ ∠ABM + 2 . ∠BAM = $180^{o}$
⇒ 2 . ∠BAM = $180^{o}$ – ∠ABM
⇒ ∠BAM = $\frac{180^{o}-∠ABM}{2}$ (1)
ΔBFC cân tại B (theo d) ⇒ ∠BFC = ∠BCF
ΔBFC: ∠FBC + ∠BFC + ∠BCF = $180^{o}$
⇒ ∠FBC + 2 . ∠BFC = $180^{o}$
⇒ 2 . ∠BFC = $180^{o}$ – ∠FBC
⇒ ∠BFC = $\frac{180^{o}-∠FBC}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∠BAM = ∠BFC
Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị ⇒ AM // FC (đpcm)
*Hình ảnh chỉ mang tính chất minh họa: