cho ΔABC vuông tại A và có BD là đường phân giác của góc B , kẻ DE ⊥ BC . Gọi F là giao điểm của AB và DE . chứng minh rằng : a) BD là trung trực của

Đáp án:

`a,`

Xét `ΔABD` và `ΔEBD` có :

`hat{BAD} = hat{BED} = 90^o`

`hat{ABD} = hat{EBD}` (giả thiết)

`BD` chung

`-> ΔABD = ΔEBD` (cạnh huyền – góc nhọn)

`-> AB = EB` (2 cạnh tương ứng)

`-> B` nằm trên đường trung trực của `AE` `(1)`

Vì `ΔABD = ΔEBD` (chứng minh trên)

`-> AD = ED` (2 cạnh tương ứng)

`-> D` nằm trên đường trung trực của `AE` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> BD` là đường trung trực của `AE`

$\\$

$\\$

$b,$

Xét `ΔDEC` vuông tại `E` có :

`DC` là cạnh lớn nhất

`-> DC > DE`

mà `AD = DE` (chứng minh trên)

`-> AD < DC`

$\\$

$\\$

$c,$

Có : `AB = EB` (chứng minh trên)

`-> ΔABE` cân tại `B`

`-> hat{BAE} =hat{BEA} = (180^o – hat{B})/2` `(3)`

Xét `ΔADF` và `ΔEDC` có :

`hat{ADF} = hat{EDC}` (2 góc đối đỉnh)

`AD = ED` (chứng minh trên)

`hat{FAD} = hat{CED}=90^o`

`-> ΔADF = ΔEDC` (góc – cạnh – góc)

`-> AF = EC` (2 cạnh tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB + AF = BF\\EB +EC=BC\end{array} \right.\)

mà `AB = EB, AF = EC`

`-> BF = BC`

`-> ΔFBC` cân tại `B`

`-> hat{BFC} = hat{BCF} = (180^o – hat{B})/2` `(4)`

Từ `(3), (4)`

`-> hat{BAE} = hat{BFC} (= (180^o – hat{B})/2)`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ AE//FC$

 

Trả lời