cho ΔABC vuông tại A và có BD là đường phân giác của góc B , kẻ DE ⊥ BC . Gọi F là giao điểm của AB và DE . chứng minh rằng :
a) BD là trung trực của AE
b) AD < DC
c) AE // FC
cho ΔABC vuông tại A và có BD là đường phân giác của góc B , kẻ DE ⊥ BC . Gọi F là giao điểm của AB và DE . chứng minh rằng :
a) BD là trung trực của AE
b) AD < DC
c) AE // FC
Đáp án:
`a,`
Xét `ΔABD` và `ΔEBD` có :
`hat{BAD} = hat{BED} = 90^o`
`hat{ABD} = hat{EBD}` (giả thiết)
`BD` chung
`-> ΔABD = ΔEBD` (cạnh huyền – góc nhọn)
`-> AB = EB` (2 cạnh tương ứng)
`-> B` nằm trên đường trung trực của `AE` `(1)`
Vì `ΔABD = ΔEBD` (chứng minh trên)
`-> AD = ED` (2 cạnh tương ứng)
`-> D` nằm trên đường trung trực của `AE` `(2)`
Từ `(1), (2)`
`-> BD` là đường trung trực của `AE`
$\\$
$\\$
$b,$
Xét `ΔDEC` vuông tại `E` có :
`DC` là cạnh lớn nhất
`-> DC > DE`
mà `AD = DE` (chứng minh trên)
`-> AD < DC`
$\\$
$\\$
$c,$
Có : `AB = EB` (chứng minh trên)
`-> ΔABE` cân tại `B`
`-> hat{BAE} =hat{BEA} = (180^o – hat{B})/2` `(3)`
Xét `ΔADF` và `ΔEDC` có :
`hat{ADF} = hat{EDC}` (2 góc đối đỉnh)
`AD = ED` (chứng minh trên)
`hat{FAD} = hat{CED}=90^o`
`-> ΔADF = ΔEDC` (góc – cạnh – góc)
`-> AF = EC` (2 cạnh tương ứng)
Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB + AF = BF\\EB +EC=BC\end{array} \right.\)
mà `AB = EB, AF = EC`
`-> BF = BC`
`-> ΔFBC` cân tại `B`
`-> hat{BFC} = hat{BCF} = (180^o – hat{B})/2` `(4)`
Từ `(3), (4)`
`-> hat{BAE} = hat{BFC} (= (180^o – hat{B})/2)`
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
$→ AE//FC$
a, Xét Δ ABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có:
BD cạnh chung
góc ABD = góc EBD ( gt )
Do đó Δ ABD = Δ EBD ( cạnh huyền – góc nhọn )
=> AB = EB ; AD = ED ( cặp cạnh tương ứng )
Vì AB=EB ; AD=ED
=> B là D nằm trên đường trung trực của AE
=> BD là đường trung trực của AE ( đpcm )
Xét Δ ADF và Δ EDC có:
góc FAD = góc CED ( =90 độ )
AD = ED ( cmt )
góc ADF = góc EDC ( đối đỉnh )
Do đó Δ ADF = Δ EDC ( g.c.g )
=> DF=DC ( cặp cạnh tương ứng )
c, Xét ΔDEC vuông tại E ta có:
DE < DC ( do trong tam giác vuông cạnh huyền lớn nhất )
Mà DE=DA
=> DA<DC ( đpcm )
d, Vì Δ ADF = Δ EDC ( cm câu b )
=> AF = EC ( cặp cạnh tương ứng )
Ta có : BF=BA+AF ; BC=BE+EC
mà BA=BE ; AF=EC ( đã cm )
=> BF=BC
=> Δ BCF cân tại B
Mặt khác ta có: BA = BE ( cm câu a )
=> tam giác ABE cân tại B
Xét Δ BCF và ΔABE cân tại B ta có:
góc BAE = (180−∠ ABE)/2 ; góc BFC = (180 −gócFBC)/2
=> góc BAE = góc BFC
=> AE // CF( do có 1 cặp góc bằng nhau ở vị trí đồng vị )