Cho ABCD là hình thang cân. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA
a) chứng minh MN//AC//PQ
b) chứng minh MNPQ là hình thoi
Cho ABCD là hình thang cân. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA
a) chứng minh MN//AC//PQ
b) chứng minh MNPQ là hình thoi
Lời giải:
a. Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC
Suy ra: MN là đường trung bình thuộc cạnh AC của tam giác ABC
⇔ MN//AC (1) và MN = $\frac{1}{2}$ AC
Xét tam giác ACD có Q là trung điểm của AD, P là trung điểm của CD
Suy ra: PQ là đường trung bình thuộc cạnh AC của tam giác ACD
⇔ PQ//AC (2) và PQ = $\frac{1}{2}$ AC
Từ (1) và (2) ⇒ MN//AC//PQ (3)
b. Chứng minh tương tự câu a ta có:
MQ//NP//BD (4) và và MQ = $\frac{1}{2}$ BD
Từ (3) và (4) suy ra: MNPQ là hình bình hành. (*)
Lại có: ABCD là hình thang cân (gt)
Suy ra: Hai đường chéo AC và BD bằng nhau
Mà MN = $\frac{1}{2}$ AC, MQ = $\frac{1}{2}$ BD (chứng minh trên)
⇒ MN = MQ (**)
Từ (*) và (**) ⇒ MNPQ là hình thoi.
Giải thích các bước giải:
Xét tam giác ABC có:
M là trung điểm của AB
N là trung điểm BC
⇒MN là đường trung bình của tam giác ABC
⇒MN//AC và MN=1/2.AC(1)
Xét tam giác ADC có:
Q là trung điểm của AD
P là trung điểm DC
⇒PQ là đường trung bình của tam giác ADC
⇒PQ//AC và PQ=1/2 AC (2)
Từ (1) và (2)⇒MN//AC//PQ(đpcm)
b)Từ (1) và (2)
⇒MN//PQ và MN=PQ
⇒MNPQ là hình bình hành
Lại có: QM là đường trung bình của tam giác ADB
⇒QM=1/2DB mà DB=AC vì ABCD là hình thang cân
⇒QM=MN
⇒MNPQ là hình thoi(đpcm)