Cho ba điểm A, B, C cố định, thẳng hàng (AB < BC, B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC, vẽ đường thẳng xy vuông góc với AB tại A. Trên tia Ax lấy điểm M, đường thẳng MB cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là E, MC cắt đường tròn tâm O tại D. Đường thẳng CE cắt đường thẳng xy tại N. Chứng minh: a) Bốn điểm A,B,D,M cùng thuộc một đường tròn b) Ba điểm D, B, N thẳng hàng. c) Tổng CD.CM + CE.CN không đổi. Giúp mình với :<<
a, $\triangle BDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
$\Rightarrow \widehat{BDC} = 90^{\circ}$
Xét tứ giác $ABDM$ có $\widehat{BDC} = 90^{\circ}$
$\widehat{MAB} = 90^{\circ}$ (do $AM \perp AB$)
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
$\Rightarrow$ Tứ giác $ABDM$ nội tiếp
$\Rightarrow$ $A, B, D, M$ thuộc một đường tròn
Xét tứ giác $AECM$ có
$\widehat{MEC} = 90^{\circ}$ ($\triangle BEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$)
$\widehat{MAB} = 90^{\circ}$ (do $AM \perp AB$)
$\Rightarrow$ Hai góc này cùng nhìn $MC$ dưới một góc $90^{\circ}$
$\Rightarrow$ tứ giác $AECM$ nội tiếp
$\Rightarrow$ $A, E, C, M$ cùng thuộc một đường tròn
b, Xét $\triangle MNC$ có
$MB \perp NC$
$CB \perp NM$
$\Rightarrow NB \perp MC$
Lại có: $BD \perp MC$ ( tam giác $BDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$)
Qua một điểm $B$ có hai đường thẳng $NB$ và $BD$ cùng vuông góc với $MC$
$\Rightarrow D, B, N$ thẳng hàng (đpcm)