Cho ba số: a,b,c dương. Chứng tỏ rằng M= $\frac{a}{a+b}$ + $\frac{b}{b+c}$ + $\frac{c}{c+a}$ không là số nguyên. 27/07/2021 Bởi Kaylee Cho ba số: a,b,c dương. Chứng tỏ rằng M= $\frac{a}{a+b}$ + $\frac{b}{b+c}$ + $\frac{c}{c+a}$ không là số nguyên.
Đáp án: dcm Giải thích các bước giải: có a/(a+b)>a/a+b+c tương tự nên M>1 có a/(a+b)<a+c/a+b+c tương tự nên M<2 ==>1<M<2==> k la so nguyen Bình luận
Giải thích các bước giải: Vì a,b,c là các số dương => $\left\{ \begin{array}{l} a + b < a + b + c\\ b + c < a + b + c\\ c + a < a + b + c \end{array} \right.$ => $\left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{{a + b}} > \frac{a}{{a + b + c}}\\ \frac{b}{{b + c}} > \frac{b}{{a + b + c}}\\ \frac{c}{{c + a}} > \frac{c}{{a + b + c}} \end{array} \right.$(do a,b,c>0) => $\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} > \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + c}} + \frac{c}{{a + b + c}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1$ Xét $\begin{array}{l} \frac{a}{{a + b}} – \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\\ = \frac{{{a^2} + ab + ac – ({a^2} + ab + ac + bc)}}{{(a + b)(a + b + c)}}\\ = \frac{{ – bc}}{{(a + b)(a + b + c)}} < 0 \end{array}$ (do b,c>0 nên bc>0) => $\frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}$ Chứng minh tương tự: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\\ \frac{b}{{b + c}} < \frac{{b + a}}{{a + b + c}}\\ \frac{c}{{a + c}} < \frac{{b + c}}{{a + b + c}} \end{array} \right.$ => $\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}} + \frac{{b + a}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{a + b + c}} = \frac{{2(a + b + c)}}{{a + b + c}} = 2$ => $1 < \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < 2$ => $\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}}$ không thể là số nguyên (đpcm) Bình luận
Đáp án:
dcm
Giải thích các bước giải:
có a/(a+b)>a/a+b+c
tương tự nên M>1
có a/(a+b)<a+c/a+b+c
tương tự nên M<2
==>1<M<2==> k la so nguyen
Giải thích các bước giải:
Vì a,b,c là các số dương
=> $\left\{ \begin{array}{l} a + b < a + b + c\\ b + c < a + b + c\\ c + a < a + b + c \end{array} \right.$
=> $\left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{{a + b}} > \frac{a}{{a + b + c}}\\ \frac{b}{{b + c}} > \frac{b}{{a + b + c}}\\ \frac{c}{{c + a}} > \frac{c}{{a + b + c}} \end{array} \right.$(do a,b,c>0)
=> $\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} > \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + c}} + \frac{c}{{a + b + c}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1$
Xét
$\begin{array}{l} \frac{a}{{a + b}} – \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\\ = \frac{{{a^2} + ab + ac – ({a^2} + ab + ac + bc)}}{{(a + b)(a + b + c)}}\\ = \frac{{ – bc}}{{(a + b)(a + b + c)}} < 0 \end{array}$
(do b,c>0 nên bc>0)
=> $\frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}$
Chứng minh tương tự:
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\\ \frac{b}{{b + c}} < \frac{{b + a}}{{a + b + c}}\\ \frac{c}{{a + c}} < \frac{{b + c}}{{a + b + c}} \end{array} \right.$
=> $\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}} + \frac{{b + a}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{a + b + c}} = \frac{{2(a + b + c)}}{{a + b + c}} = 2$
=> $1 < \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < 2$
=> $\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}}$ không thể là số nguyên (đpcm)