cho ba số a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1 chứng minh 1/a +1/b +1/c >= 9 11/08/2021 Bởi Brielle cho ba số a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1 chứng minh 1/a +1/b +1/c >= 9
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng Engel $ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c} = \dfrac{9}{a+b+c} = \dfrac{9}{1} = 9$ Vậy ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $ a= b = c = \dfrac{1}{3}$ Bình luận
Áp dụng bất đẳng thức: $\frac{a}{x}$ + $\frac{b}{y}$ + $\frac{c}{z}$ $\geq$ $\frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$ (bất đẳng thức cộng mẫu) Ta có: $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ $\geq$ $\frac{(1+1+1)^{2}}{a+b+c}$ mà a+b+c=1 ⇒ $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ $\geq$ \frac{9}{1}$ ⇒ $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ $\geq$ 9 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Bình luận
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng Engel
$ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c} = \dfrac{9}{a+b+c} = \dfrac{9}{1} = 9$
Vậy ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $ a= b = c = \dfrac{1}{3}$
Áp dụng bất đẳng thức:
$\frac{a}{x}$ + $\frac{b}{y}$ + $\frac{c}{z}$ $\geq$ $\frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$
(bất đẳng thức cộng mẫu)
Ta có:
$\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ $\geq$ $\frac{(1+1+1)^{2}}{a+b+c}$
mà a+b+c=1
⇒ $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ $\geq$ \frac{9}{1}$
⇒ $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ $\geq$ 9
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c