Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a$\geq$ 1; b$\geq$ 4; c$\geq$ 9
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= $\frac{bc\sqrt{a-1} +ca\sqrt{b-4} +ab\sqrt{c-9}}{abc}$
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a$\geq$ 1; b$\geq$ 4; c$\geq$ 9
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= $\frac{bc\sqrt{a-1} +ca\sqrt{b-4} +ab\sqrt{c-9}}{abc}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
P=$\frac{\sqrt{a-1}}{a}$+$\frac{\sqrt{b-4}}{b}$ +$\frac{\sqrt{c-9}}{c}$
áp dụng bđt cosi
a-1+1>=2*căn(a-1)
b-4+4>=4*căn(b-4)
c-9+9>=6* căn(c-9)
sau đó thay vào P là xong
Đáp án:
\[\frac{{11}}{{12}}\]
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT Cô – si ta có:
\[\begin{array}{l}
a = \left( {a – 1} \right) + 1 \ge 2\sqrt {\left( {a – 1} \right).1} = 2\sqrt {a – 1} \\
b = \left( {b – 4} \right) + 4 \ge 2\sqrt {4\left( {b – 4} \right)} = 4\sqrt {b – 4} \\
c = \left( {c – 9} \right) + 9 \ge 2\sqrt {9\left( {c – 9} \right)} = 6\sqrt {c – 9}
\end{array}\]
Do đó,
\(\begin{array}{l}
P = \frac{{bc\sqrt {a – 1} + ca\sqrt {b – 4} + ab\sqrt {c – 9} }}{{abc}}\\
= \frac{{\sqrt {a – 1} }}{a} + \frac{{\sqrt {b – 4} }}{b} + \frac{{\sqrt {c – 9} }}{c}\\
\le \frac{a}{{2a}} + \frac{b}{{4b}} + \frac{c}{{6c}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{{11}}{{12}}
\end{array}\)
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
a – 1 = 1\\
b – 4 = 4\\
c – 9 = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 8\\
c = 18
\end{array} \right.\)