cho ba số x,y,z thỏa mãn x+y+z=1. chứng minh $x^{2}$ + y$^{2}$ + $z^{2}$ $\geq$ $\frac{1}{4}$ 29/09/2021 Bởi Piper cho ba số x,y,z thỏa mãn x+y+z=1. chứng minh $x^{2}$ + y$^{2}$ + $z^{2}$ $\geq$ $\frac{1}{4}$
Giải thích các bước giải: Ta có : $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 ≥ 0 $ $\to 2.(x^2+y^2+z^2) ≥ 2.(xy+yz+zx)$ $\to 3.(x^2+y^2+z^2) ≥ (x+y+z)^2$ $\to x^2+y^2+z^2 ≥ \dfrac{(x+y+z)^2}{3} = \dfrac{1}{3}$ Dấu “=” xảy ra $⇔x=y=z=\dfrac{1}{3}$ Bình luận
Áp dụng $BĐT$ $Bunhiacopxki$ ta có: $(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)≥(x+y+z)^2$ $⇔(x^2+y^2+z^2)3≥1$ $⇔x^2+y^2+z^2≥\frac{1}{3}$ Dấu $”=”$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{x+y+z}{3}=\frac{1}{3}$. Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có : $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 ≥ 0 $
$\to 2.(x^2+y^2+z^2) ≥ 2.(xy+yz+zx)$
$\to 3.(x^2+y^2+z^2) ≥ (x+y+z)^2$
$\to x^2+y^2+z^2 ≥ \dfrac{(x+y+z)^2}{3} = \dfrac{1}{3}$
Dấu “=” xảy ra $⇔x=y=z=\dfrac{1}{3}$
Áp dụng $BĐT$ $Bunhiacopxki$ ta có:
$(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)≥(x+y+z)^2$
$⇔(x^2+y^2+z^2)3≥1$
$⇔x^2+y^2+z^2≥\frac{1}{3}$
Dấu $”=”$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{x+y+z}{3}=\frac{1}{3}$.