Cho biểu thức A =x^4+x^3+x+1/x^4-x^3+2x^2-x+1 a,Tìm điều kiện của x để giá trị của A được xấc định . Rút gọn A. b, Với giá trị nào của x t

Giải thích các bước giải:

a,

ĐKXĐ:

\(\begin{array}{l}
{x^4} – {x^3} + 2{x^2} – x + 1 \ne 0\\
\left( {{x^4} – {x^3} + {x^2}} \right) + \left( {{x^2} – x + 1} \right) \ne 0\\
 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} – x + 1} \right) + \left( {{x^2} – x + 1} \right) \ne 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right) \ne 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 1 \ne 0\\
{x^2} – x + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in R
\end{array}\) 

Vậy hàm số đã cho xác định với mọi x

\(\begin{array}{l}
A = \frac{{{x^4} + {x^3} + x + 1}}{{{x^4} – {x^3} + 2{x^2} – x + 1}}\\
 = \frac{{\left( {{x^4} + {x^3}} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}\\
 = \frac{{{x^3}\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}\\
 = \frac{{\left( {{x^3} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}\\
 = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}\\
 = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}
\end{array}\)

b,

A có giá trị bằng 2 khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} = 2\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 2{x^2} + 2\\
 \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)

c,

Ta có

\(\begin{array}{l}
{x^2} + 1 \ge 2x\\
A = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right) + 2x}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} \le 1 + \frac{{2x}}{{2x}} = 2\\
{A_{\max }} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 2x \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)