cho biểu thức ax ²+bx+c (a,b,c là các số nguyên) Chứng minh rằng biểu thức b ²-4ac không thể bằng 23 12/07/2021 Bởi Reese cho biểu thức ax ²+bx+c (a,b,c là các số nguyên) Chứng minh rằng biểu thức b ²-4ac không thể bằng 23
Giả sử biểu thức $b^2-4ac=23$ với a,b,c là số nguyên. $\begin{array}{l} \Delta = {b^2} – 4ac = 23\\ \Leftrightarrow {b^2} = 23 + 4ac \equiv 3 + 0 = 3\left( {\bmod 4} \right) \end{array}$ Với $b$ là số nguyên thì $b$ có dạng$\begin{array}{l} b = 4k \pm r\left( {k \in Z} \right),r \in \left\{ {0;1;2} \right\}\\ \Rightarrow {b^2} = 16{k^2} + {r^2} \pm 8kr\left( {{r^2} \in \left\{ {0;1;4} \right\}} \right) \equiv 0,1\left( {\bmod 4} \right) \end{array}$ nên $b^2$ luôn chia 4 dư 1 hoặc 0. Mà theo giả thiết ${b^2} \equiv 3\left( {\bmod 4} \right)$ (vô lý với b là số nguyên). Vậy điều giả sử vô lý. Vậy biểu thức $b^2-4ac$ không thể bằng 23. Bình luận
giả sử b^2-4ac =23 => b^2-23=4ac $\frac{b^2-23}{4}$ =ac mà a,c là các số nguyên nên $\frac{b^2-23}{4}$ ∈Z + với b là số chẵn ;b=2k =>$\frac{(2k)^2-23}{4}$ =>$\frac{4k^2-23}{4}$=k^2 -5 -$\frac{3}{4}$ vì k∈Z,5∈Z nhưng $\frac{3}{4}$ ∉Z =>$\frac{(2k)^2-23}{4}$∉Z hay với b là số chẵn thì điều giả sử không đúng + với b là số lẻ ;b=2k+1 =>$\frac{(2k+1)^2-23}{4}$ =>$\frac{4k^2+4k+1-23}{4}$ =>k^2 +k-5+1/2 vì k^2∈Z,k∈Z,5∈Z nhưng 1/2∉Z =>$\frac{(2k+1)^2-23}{4}$∉Z hay với b lẻ thì điều giả sử không đúng vậy với b lẻ hay chẵn thì điều giả sử đều không đúng =>b^2-4ac không thể = 23 Bình luận
Giả sử biểu thức $b^2-4ac=23$ với a,b,c là số nguyên.
$\begin{array}{l} \Delta = {b^2} – 4ac = 23\\ \Leftrightarrow {b^2} = 23 + 4ac \equiv 3 + 0 = 3\left( {\bmod 4} \right) \end{array}$
Với $b$ là số nguyên thì $b$ có dạng$\begin{array}{l} b = 4k \pm r\left( {k \in Z} \right),r \in \left\{ {0;1;2} \right\}\\ \Rightarrow {b^2} = 16{k^2} + {r^2} \pm 8kr\left( {{r^2} \in \left\{ {0;1;4} \right\}} \right) \equiv 0,1\left( {\bmod 4} \right) \end{array}$ nên $b^2$ luôn chia 4 dư 1 hoặc 0.
Mà theo giả thiết ${b^2} \equiv 3\left( {\bmod 4} \right)$ (vô lý với b là số nguyên). Vậy điều giả sử vô lý.
Vậy biểu thức $b^2-4ac$ không thể bằng 23.
giả sử b^2-4ac =23
=> b^2-23=4ac
$\frac{b^2-23}{4}$ =ac
mà a,c là các số nguyên
nên $\frac{b^2-23}{4}$ ∈Z
+ với b là số chẵn ;b=2k
=>$\frac{(2k)^2-23}{4}$
=>$\frac{4k^2-23}{4}$=k^2 -5 -$\frac{3}{4}$
vì k∈Z,5∈Z nhưng $\frac{3}{4}$ ∉Z
=>$\frac{(2k)^2-23}{4}$∉Z
hay với b là số chẵn thì điều giả sử không đúng
+ với b là số lẻ ;b=2k+1
=>$\frac{(2k+1)^2-23}{4}$
=>$\frac{4k^2+4k+1-23}{4}$
=>k^2 +k-5+1/2
vì k^2∈Z,k∈Z,5∈Z nhưng 1/2∉Z
=>$\frac{(2k+1)^2-23}{4}$∉Z
hay với b lẻ thì điều giả sử không đúng
vậy với b lẻ hay chẵn thì điều giả sử đều không đúng
=>b^2-4ac không thể = 23