cho biểu thức ax ²+bx+c (a,b,c là các số nguyên) Chứng minh rằng biểu thức b ²-4ac không thể bằng 23

Giả sử biểu thức $b^2-4ac=23$ với a,b,c là số nguyên.

$\begin{array}{l} \Delta  = {b^2} – 4ac = 23\\  \Leftrightarrow {b^2} = 23 + 4ac \equiv 3 + 0 = 3\left( {\bmod 4} \right) \end{array}$

Với $b$ là số nguyên thì $b$ có dạng$\begin{array}{l} b = 4k \pm r\left( {k \in Z} \right),r \in \left\{ {0;1;2} \right\}\\  \Rightarrow {b^2} = 16{k^2} + {r^2} \pm 8kr\left( {{r^2} \in \left\{ {0;1;4} \right\}} \right) \equiv 0,1\left( {\bmod 4} \right) \end{array}$ nên $b^2$ luôn chia 4 dư 1 hoặc 0.

Mà theo giả thiết ${b^2} \equiv 3\left( {\bmod 4} \right)$ (vô lý với b là số nguyên). Vậy điều giả sử vô lý.

Vậy biểu thức $b^2-4ac$ không thể bằng 23.