cho biểu thức A = ( ($\frac{x+4\sqrt {x}+4}{x+\sqrt{x}-2}$+$\frac{x+\sqrt{x}}{1-x}$):($\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\frac{1}{1-\sqrt{x}}$) Rút gọn biểu thức

Giải thích các bước giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
A = \left( {\dfrac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{x + \sqrt x  – 2}} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 – x}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} – \dfrac{1}{{1 – \sqrt x }}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \begin{array}{l}
x \ge 0\\
x \ne 1
\end{array} \right)\\
 = \left( {\dfrac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {1 – \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}} \right):\dfrac{{\left( {1 – \sqrt x } \right) – \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {1 – \sqrt x } \right)}}\\
 = \left( {\dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  – 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{1 – \sqrt x }}} \right):\dfrac{{1 – 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {1 – \sqrt x } \right)}}\\
 = \dfrac{{ – \left( {\sqrt x  + 2} \right) + \sqrt x }}{{1 – \sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x \left( {1 – \sqrt x } \right)}}{{1 – 2\sqrt x }}\\
 = \dfrac{{ – 2}}{{1 – \sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x \left( {1 – \sqrt x } \right)}}{{1 – 2\sqrt x }}\\
 = \dfrac{{2\sqrt x }}{{2\sqrt x  – 1}}\\
*)\\
A \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x }}{{2\sqrt x  – 1}} \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt {2018} .\sqrt x  \ge \left( {1 + \sqrt {2018} } \right)\left( {2\sqrt x  – 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt {2018} .\sqrt x  \ge 2\sqrt x  – 1 + 2\sqrt {2018} .\sqrt x  – \sqrt {2018} \\
 \Leftrightarrow 0 \ge 2\sqrt x  – 1 – \sqrt {2018} \\
 \Leftrightarrow 2\sqrt x  \le 1 + \sqrt {2018} \\
 \Leftrightarrow \sqrt x  \le \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{2}\\
 \Rightarrow 0 \le x \le {\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{2}} \right)^2}\\
x \in Z,x \ne 1 \Rightarrow x \in \left\{ {0;2;3;4;5;….527} \right\}
\end{array}\)

Vậy có 527 số nguyên x thỏa mãn.