Cho biểu thức :M =1+4+4^2+4^3+…+4^100 Chứng tỏ rằng M không chia hết cho 5

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
M = 1 + 4 + {4^2} + {4^3} + … + {4^{100}}\\
 = {4^0} + {4^1} + {4^2} + {4^3} + … + {4^{100}}\left( {101\,số\,hạng} \right)\\
 = {4^0} + \left( {{4^1} + {4^2}} \right) + \left( {{4^3} + {4^4}} \right) + … + \left( {{4^{99}} + {4^{100}}} \right)\\
 = 1 + 4\left( {1 + 4} \right) + {4^3}\left( {1 + 4} \right) + … + {4^{99}}\left( {1 + 4} \right)\\
 = 1 + 4.5 + {4^3}.5 + … + {4^{99}}.5\\
 = 1 + \left( {4 + {4^3} + … + {4^{99}}} \right).5\\
Do:\left( {4 + {4^3} + … + {4^{99}}} \right).5 \vdots 5
\end{array}$

Vậy M chia cho 5 dư 1.