Cho biểu thức M=ab/(a+b+2), với a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện a^2+b^2=4. Chứng minh 0<M<=√2-1. Ai giải giúp mình với ạ! Mk cần gấp

Theo đề bài ta có $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 4$ Vậy $ab = dfrac{(a+b)^2 - 4}{2}$ Khi đó, M trở thành $M = dfrac{ dfrac{(a+b)^2 - 4}{2}}{a+b+2} = dfrac{(a+b)^2 - 4}{2[(a+b)+2]}$ Đặt $t = a+b$, khi đó ta có $M = dfrac{t^2 - 4}{2(t+2)}= dfrac{(t-2)(t+2)}{2(t+2)} = dfrac{t-2}{2} = dfrac{a}{2} + dfrac{b}{2} -1$ Áp dụng BDT Bunhia Copxki ta có $ left( dfrac{a}{2} + dfrac{b}{2} right)^2 leq left( dfrac{1}{2^2} + dfrac{1}{2^2} right)^2 (a^2 + b^2)$ $ left( dfrac{a}{2} + dfrac{b}{2} right)^2 leq dfrac{1}{2} . 4$ (do $a^2 + b^2 = 4$) $ left( dfrac{a}{2} + dfrac{b}{2} right)^2 leq 2$ $ dfrac{a}{2} + dfrac{b}{2} leq sqrt{2}$ $ dfrac{a}{2} + dfrac{b}{2} - 1 leq sqrt{2} - 1$ $ M leq sqrt{2} - 1$ Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $ dfrac{1}{2} : a = dfrac{1}{2} : b$ hay $a = b$ Mặt khác, lại có $a^2 + b^2 = 4$, do đó $a = b = sqrt{2}$ Vậy GTLN của M là $ sqrt{2}-1$ đạt được khi $a = b = sqrt{2}$.

Cho biểu thức M=ab/(a+b+2), với a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện a^2+b^2=4. Chứng minh 0
25/09/2021 Bởi Madelyn

Cho biểu thức M=ab/(a+b+2), với a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện a^2+b^2=4. Chứng minh 0 { "@context": "https://schema.org", "@type": "QAPage", "mainEntity": { "@type": "Question", "name": " Cho biểu thức M=ab/(a+b+2), với a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện a^2+b^2=4. Chứng minh 0Bình luận

Viết một bình luận Hủy