Cho biểu thức P=1/căn2-căn3 -1/căn3-căn4 + 1/ căn4- căn5-…+1/căn2n- căn2n+1
a) Rút gọn P
b) P có phải số hữu tỉ không?
Cho biểu thức P=1/căn2-căn3 -1/căn3-căn4 + 1/ căn4- căn5-…+1/căn2n- căn2n+1
a) Rút gọn P
b) P có phải số hữu tỉ không?
Ta có
\begin{align*}
P &= \dfrac{1}{\sqrt{2} – \sqrt{3}} – \dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{2n} – \sqrt{2n+1}}\\
&= \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{-1} – \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{4}}{-1} + \cdots + \dfrac{\sqrt{2n} + \sqrt{2n+1}}{-1}\\
&= -\sqrt{2} – \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \cdots -\sqrt{2n} – \sqrt{2n+1}\\
&= -\sqrt{2} – \sqrt{2n+1}
\end{align*}
Vậy $P = -\sqrt{2} – \sqrt{2n+1}$.
b) Ta có $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ nên dù $\sqrt{2n+1}$ là một số hữu tỉ đi nữa thì P vẫn là số vô tỉ.