cho biểu thức P= ($\frac{1}{\sqrt[]{a}-1}$-$\frac{1}{\sqrt[]{a}}$):( $\frac{\sqrt[]{a}-1}{\sqrt[]{a}-2}$ – $\frac{\sqrt[]{a}+2}{\sqrt[]{a}+1}$)
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Tìm giá trị của P biết a=3+2$\sqrt[]{2}$
cho biểu thức P= ($\frac{1}{\sqrt[]{a}-1}$-$\frac{1}{\sqrt[]{a}}$):( $\frac{\sqrt[]{a}-1}{\sqrt[]{a}-2}$ – $\frac{\sqrt[]{a}+2}{\sqrt[]{a}+1}$)
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Tìm giá trị của P biết a=3+2$\sqrt[]{2}$
Đáp án:
c. \(\dfrac{{ – 1 + \sqrt 2 }}{3}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a.DK:a > );a \ne \left\{ {1;4} \right\}\\
b.P = \left[ {\dfrac{{\sqrt a – \sqrt a + 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}} \right]:\left[ {\dfrac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right) – \left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a – 2} \right)}}} \right]\\
= \dfrac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a – 2} \right)}}{{a – 1 – a + 4}}\\
= \dfrac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a – 2} \right)}}{3}\\
= \dfrac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a – 2} \right)}}{{3\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}\\
c.P = \dfrac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a – 2} \right)}}{{3\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}\\
= \dfrac{{a – \sqrt a – 2}}{{3a – 3\sqrt a }}\\
Thay:a = 3 + 2\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2\sqrt 2 + 1\\
= {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2}\\
\to \sqrt a = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 + 1\\
\to P = \dfrac{{3 + 2\sqrt 2 – \sqrt 2 – 1 – 2}}{{9 + 6\sqrt 2 – 3\sqrt 2 – 3}} = \\
= \dfrac{{\sqrt 2 }}{{6 + 3\sqrt 2 }} = \dfrac{{ – 1 + \sqrt 2 }}{3}
\end{array}\)