cho C = ( √x – 2/x-1 – √x + 2/x+2 √x +1) . ( 1-x) ²/2 a) rút gọn C b) tìm x để C dương c) tìm GTLN củaC

Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)Dkxd:x \ge 0;x \ne 1\\
C = \left( {\dfrac{{\sqrt x  – 2}}{{x – 1}} – \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}{2}\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) – \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  – 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\dfrac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{2}\\
 = \dfrac{{x – \sqrt x  – 2 – \left( {x + \sqrt x  – 2} \right)}}{1}.\dfrac{{\sqrt x  – 1}}{2}\\
 = \left( { – 2\sqrt x } \right).\dfrac{{\sqrt x  – 1}}{2}\\
 = \sqrt x  – x\\
b)C > 0\\
 \Rightarrow \sqrt x  – x > 0\\
 \Rightarrow \sqrt x \left( {1 – \sqrt x } \right) > 0\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 – \sqrt x  > 0\\
x \ne 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x  < 1\\
x \ne 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow x < 1;x \ne 0\\
c)C = \sqrt x  – x\\
 =  – \left( {x – \sqrt x } \right)\\
 =  – \left( {x – 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{1}{4}\\
 =  – {\left( {\sqrt x  – \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4}\\
 \Rightarrow GTLN:C = \dfrac{1}{4}\\
Khi:x = \dfrac{1}{4}
\end{array}$