Cho các số `a,b,c ∈ [0;1]`. CMR `a+b^2+c^3-ab-bc-cd ≤ 1` 28/07/2021 Bởi Madelyn Cho các số `a,b,c ∈ [0;1]`. CMR `a+b^2+c^3-ab-bc-cd ≤ 1`
Đáp án: Giải thích các bước giải: Do `0<=a,b,c<=1` `=>(1-a)(1-b)(1-c)>=0` `=>-(a+b+c)+(ab+ac+bc)+1-abc>=0` `=>-(a+b+c)+(ab+ac+bc)>=abc-1` `=>a+b+c-(ab+ac+bc)<=1-abc<=1-0=1` Do `a,b,c>=0` `=>a+b+c-(ab+ac+bc)<=1` Lại có `0<=b<=1=>b^2<=b` `0<=c<=1=>c^3<=c` `=>a+b^2+c^2-(ab+ac+bc)<=a+b+c-(ab+ac+bc)<=1` `=>a+b^2+c^2-(ab+ac+bc)<=1` Dấu `=` xảy ra `<=>(a,b,c)=(0,0,1)` và các hoán vị Bình luận
Có : ( 1 – a ) ( 1 – b ) ( 1 – c ) ≥ 0 ( do a,b,c thuộc [0;1] ) ⇔⇔1 – a – b – c +ab + bc + ca- abc ≥ 0 ⇔⇔ a + b + c – ab – bc -ca ≤≤ 1 – abc Do a,b,c thuộc [0;1] nên b2b; c3 ≤c và abc ≤ 1 Suy ra 1 – abc ≤ a + b + c -ab – bc – ca ≥a + b2 + c3 -ab – bc – ca Dấu bằng xảy ra khi 2 số bằng 0, 1 số bằng 1. ( tự thay ) Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Do `0<=a,b,c<=1`
`=>(1-a)(1-b)(1-c)>=0`
`=>-(a+b+c)+(ab+ac+bc)+1-abc>=0`
`=>-(a+b+c)+(ab+ac+bc)>=abc-1`
`=>a+b+c-(ab+ac+bc)<=1-abc<=1-0=1` Do `a,b,c>=0`
`=>a+b+c-(ab+ac+bc)<=1`
Lại có
`0<=b<=1=>b^2<=b`
`0<=c<=1=>c^3<=c`
`=>a+b^2+c^2-(ab+ac+bc)<=a+b+c-(ab+ac+bc)<=1`
`=>a+b^2+c^2-(ab+ac+bc)<=1`
Dấu `=` xảy ra `<=>(a,b,c)=(0,0,1)` và các hoán vị
Có :
( 1 – a ) ( 1 – b ) ( 1 – c ) ≥ 0 ( do a,b,c thuộc [0;1] )
⇔⇔1 – a – b – c +ab + bc + ca- abc ≥ 0
⇔⇔ a + b + c – ab – bc -ca ≤≤ 1 – abc
Do a,b,c thuộc [0;1] nên b2b; c3 ≤c và abc ≤ 1
Suy ra 1 – abc ≤ a + b + c -ab – bc – ca ≥a + b2 + c3 -ab – bc – ca
Dấu bằng xảy ra khi 2 số bằng 0, 1 số bằng 1. ( tự thay )