Cho các số a,b,c không âm, có tổng bằng 1CM: \(\sqrt{a^2+b^2}\)+\(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\sqrt{2}\)

0 bình luận về “Cho các số a,b,c không âm, có tổng bằng 1CM: \(\sqrt{a^2+b^2}\)+\(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\sqrt{2}\)”

1. `+` Áp dụng bất đẳng thức : `x^2+y^2` `≥` `\frac{(x+y)^2}{2}` ta được :

   $\sqrt[]{a^2+b^2}≥$ $\sqrt[]{\frac{(a+b)^2}{2}}$ `=“\frac{|a+b|}{\sqrt[2]}` `=` `\frac{a+b} {\sqrt[2]}` 
   `+` Tương tự ta cũng có : $\sqrt[]{b^2+c^2}$ $\geq$ `\frac{b+c}{\sqrt[2]}` `;`$\sqrt[]{c^2+a^2}$ $\geq$ `\frac{c+a}{\sqrt[2]}` .

   `+` Cộng tất cả bất đẳng thức cùng chiều ta được :

   $\sqrt{a^2+b^2}$ `+`$\sqrt{b^2+c^2}$ `+`$\sqrt{c^2+a^2}$ $\geq$ `\frac{a+b}{\sqrt[2]}` `+` `\frac{b+c}{\sqrt[2]}“+\frac{c+a}{\sqrt[2]}`

   `=“\frac{2(a+b+c)}{\sqrt[2]}=` $\sqrt{2}$

   Vậy : $\sqrt{a^2+b^2}$ `+`$\sqrt{b^2+c^2}$ `+`$\sqrt{c^2+a^2}$ $\geq$ $\sqrt{2}$ `⇒` `đpcm` 

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Áp dụng bất đẳng thức \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\) 

   \(\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{a+b}{\sqrt{2}}\)

   Chứng minh tương tự \(\sqrt{b^2+c^2}\ge\frac{b+c}{\sqrt{2}}\)

                           \(\sqrt{a^2+c^2}\ge\frac{a+c}{\sqrt{2}}\)

   Cộng 3 vế của 3 bất đẳng thức trên lại ta được:

   \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

   Dấu “=” tại a = b = c = $\frac{1}{3}$ 

   Bình luận