Cho các số dương `a,b,c` thỏa mãn ` a +b + c = 3` . Tìm GTNN của biểu thức
$P=\dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}+\dfrac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\dfrac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}$
Cho các số dương `a,b,c` thỏa mãn ` a +b + c = 3` . Tìm GTNN của biểu thức $P=\dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}+\dfrac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\dfrac
By Rylee
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\(P=\dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}+\dfrac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\dfrac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}\)
Ta có: `\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}=\frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{2c+a+b}}=\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{c+3}}+\frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{c+3}}+\frac{c+3}{8})-\frac{c+3}{16} \ge \frac{1}{2}.3`\(\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{c+3}}.\dfrac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{c+3}}\dfrac{c+3}{8}}\)`-\frac{c+3}{16}=\frac{3a}{4}-\frac{c+3}{16}`
Tương tự: `\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}} \ge \frac{3b}{4}-\frac{a+3}{16}`
`\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+a+c}} \ge \frac{3c}{4}-\frac{b+3}{16}`
Cộng các vế của BĐT ta được `P \ge 3/2`
Vậy `P_{min}=3/2`
Dấu “=” xảy ra khi `a=b=c=1`
Ta có:\[\begin{array}{l}
P = \dfrac{{a\sqrt a }}{{\sqrt {2c + a + b} }} + \dfrac{{b\sqrt b }}{{\sqrt {2a + b + c} }} + \dfrac{{c\sqrt c }}{{\sqrt {2b + c + a} }}\\
= \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {a\left( {2c + a + b} \right)} }} + \dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {b\left( {2a + b + c} \right)} }} + \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {2\left( {2b + c + a} \right)} }}\\
\ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\sqrt {a\left( {2c + a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {2a + b + c} \right)} + \sqrt {2\left( {2b + c + a} \right)} }}
\end{array}\]
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ở mẫu:
\[\begin{array}{l}
{\left[ {\sqrt {a\left( {2c + a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {2a + b + c} \right)} + \sqrt {c\left( {2b + a + c} \right)} } \right]^2} \le \left( {a + b + c} \right)\left[ {\left( {2a + a + b} \right) + \left( {2a + b + c} \right) + \left( {2b + a + c} \right)} \right]\\
\Leftrightarrow {\left[ {\sqrt {a\left( {2c + a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {2a + b + c} \right)} + \sqrt {c\left( {2b + a + c} \right)} } \right]^2} \le 4{\left( {a + b + c} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \sqrt {a\left( {2c + a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {2a + b + c} \right)} + \sqrt {c\left( {2b + a + c} \right)} \le 2\left( {a + b + c} \right)
\end{array}\]
Vậy ta có: \[P \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \dfrac{3}{2}\]
vậy Pmin = 3/2.
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1