Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a³ + b³ + c³ = 3abc. Chứng minh a=b=c

0 bình luận về “Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a³ + b³ + c³ = 3abc. Chứng minh a=b=c”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có: $a^3+b^3+c^3=3abc$

   ⇔ $(a+b)^3-3a^2b-3ab^2+c^3=3abc$

   ⇔ $(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0$

   ⇔ $[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b)-3abc=0$

   ⇔ $(a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0$

   ⇔ $(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)=0$

   ⇔ $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)=0$

   ⇔ $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0$

   $\text{Vì a, b, c là các số dương nên $a+b+c > 0$}$

   ⇒ $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$

   ⇔ $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

   ⇔ $(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0$

   ⇔ $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

   Vì $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2 \geq 0$

   nên $\left\{\begin{matrix}(a-b)^2=0 &\\(b-c)^2=0& \\(c-a)^2=0& \end{matrix}\right.$

   ⇔ $\left\{\begin{matrix}a-b=0 &\\b-c=0& \\c-a=0 & \end{matrix}\right.$

   ⇔ $\left\{\begin{matrix}a=b &\\b=c& \\ c=a & \end{matrix}\right.$

   ⇔ $a=b=c$ (đpcm)

   Chúc bạn học tốt !!!

   Bình luận

2. $\begin{array}{l}a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\\ \Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = 0\\ \Leftrightarrow (a+b)^3 – 3ab(a + b) + c^3 – 3abc=0\\ \Leftrightarrow [(a + b)^3 + c^3] – [3ab(a+b) + 3abc]=0\\ \Leftrightarrow (a+b+c)[(a + b)^2 – (a+b)c + c^2] – 3ab(a + b +c)=0\\ \Leftrightarrow (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 – ac – bc + c^2 – 3ab)=0\\ \Leftrightarrow (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 -ab – bc -ac) =0 \,\,\,\, (*)\\ Do\,\,\,a,b,c > 0\\ nên\,\,\,a +b + c> 0\\ \Rightarrow (*) = 0 \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 -ab – bc -ac = 0\\ \Leftrightarrow 2a^2 + 2b^2 +2c^2 – 2ab -2ac -2bc = 0\\ \Leftrightarrow (a -b)^2 + (b -c)^2 + (c -a)^2 = 0\\ Do\,\,\begin{cases}(a -b)^2\geq 0, \forall a,b\\(b-c)^2 \geq 0, \forall b,c\\ (c-a)^2 \geq 0, \forall c,a\end{cases}\\ nên\,\,\,(a -b)^2 + (b -c)^2 + (c -a)^2 = 0\\ \Leftrightarrow \begin{cases}a-b = 0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow a=b=c\end{array}$

   Bình luận