Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 4. CMR: (a + b)(b + c)(c + a) > a ³b ³c ³ 12/08/2021 Bởi Vivian Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 4. CMR: (a + b)(b + c)(c + a) > a ³b ³c ³
Giải thích các bước giải: Ta có: $\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt{ca}=8abc$ Mà $4=a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$ $\to 64\ge 27abc$ $\to abc\le \dfrac{64}{27}$ $\to a^2b^2c^2\le \left(\dfrac{64}{27}\right)^2<8$ $\to 8abc\ge a^3b^3c^3$ $\to \left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)>a^3b^3c^3$ Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt{ca}=8abc$
Mà $4=a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$
$\to 64\ge 27abc$
$\to abc\le \dfrac{64}{27}$
$\to a^2b^2c^2\le \left(\dfrac{64}{27}\right)^2<8$
$\to 8abc\ge a^3b^3c^3$
$\to \left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)>a^3b^3c^3$